Страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

7.28 a) $(\frac{2}{5})^{4 - x} < (\frac{5}{2})^{2x + 1}$

Б) $(\frac{2}{7})^{3 - x} < (\frac{7}{2})^{3x - 1}$

В) $(\frac{3}{4})^{1 - 2x} > (\frac{4}{3})^{x + 5}$

Г) $(\frac{2}{3})^{3x - 7} > (\frac{3}{2})^{4x + 1}$

а)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{5}{2}\right)^{2x+1}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что основания являются взаимно обратными числами: $\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть неравенства:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{2x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{2}{5}\right)^{-(2x+1)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{4-x} < \left(\frac{2}{5}\right)^{-2x-1}$

Так как основание степени $a = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней, знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$4 - x > -2x - 1$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$2x - x > -1 - 4$

$x > -5$

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

б)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{7}{2}\right)^{3x-1}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{2}{7}$. Так как $\frac{7}{2} = \left(\frac{2}{7}\right)^{-1}$, то:

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}\right)^{3x-1}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{2}{7}\right)^{-(3x-1)}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} < \left(\frac{2}{7}\right)^{-3x+1}$

Основание $a = \frac{2}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Меняем знак неравенства на противоположный при переходе к показателям:

$3 - x > -3x + 1$

Решаем линейное неравенство:

$3x - x > 1 - 3$

$2x > -2$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

в)

Дано неравенство: $\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{4}{3}\right)^{x+5}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{3}{4}$, используя то, что $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-1}\right)^{x+5}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{-(x+5)}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{1-2x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{-x-5}$

Основание $a = \frac{3}{4}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный:

$1 - 2x < -x - 5$

Решаем линейное неравенство:

$-2x + x < -5 - 1$

$-x < -6$

Умножаем обе части на $-1$ и снова меняем знак неравенства:

$x > 6$

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

г)

Дано неравенство: $\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{3}{2}\right)^{4x+1}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{2}{3}$, используя то, что $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{4x+1}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-(4x+1)}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-4x-1}$

Основание $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный:

$3x - 7 < -4x - 1$

Решаем линейное неравенство:

$3x + 4x < 7 - 1$

$7x < 6$

$x < \frac{6}{7}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{7})$.

7.29 a) $5^{x-1} > 4^x$;

б) $4^x < 5^{x+1}$;

в) $15^{x-4} > 3^{x-3}$;

г) $6^{x+5} < 3^{x+6}$.

а) Исходное неравенство: $5^{x-1} > 4^x$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть: $\frac{5^x}{5} > 4^x$.
Разделим обе части неравенства на $4^x$ (так как $4^x > 0$, знак неравенства не меняется) и умножим на 5:
$\frac{5^x}{4^x} > 5$
Применяя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:
$(\frac{5}{4})^x > 5$
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{5}{4}$. Так как основание $\frac{5}{4} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:
$\log_{\frac{5}{4}}((\frac{5}{4})^x) > \log_{\frac{5}{4}}(5)$
Используя основное логарифмическое тождество $\log_a(a^b)=b$, получаем:
$x > \log_{\frac{5}{4}}(5)$

Ответ: $x \in (\log_{\frac{5}{4}}(5); +\infty)$

б) Исходное неравенство: $4^x < 5^{x+1}$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть: $4^x < 5^x \cdot 5$.
Разделим обе части неравенства на $5^x$ (так как $5^x > 0$, знак неравенства не меняется):
$\frac{4^x}{5^x} < 5$
Применяя свойство $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$, получаем:
$(\frac{4}{5})^x < 5$
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{4}{5}$. Так как основание $0 < \frac{4}{5} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_{\frac{4}{5}}((\frac{4}{5})^x) > \log_{\frac{4}{5}}(5)$
Используя тождество $\log_a(a^b)=b$, получаем:
$x > \log_{\frac{4}{5}}(5)$

Ответ: $x \in (\log_{\frac{4}{5}}(5); +\infty)$

в) Исходное неравенство: $15^{x-4} > 3^{x-3}$.
Представим основание 15 как произведение $3 \cdot 5$: $(3 \cdot 5)^{x-4} > 3^{x-3}$.
Раскроем скобки в левой части: $3^{x-4} \cdot 5^{x-4} > 3^{x-3}$.
Разделим обе части неравенства на $3^{x-4}$ (так как $3^{x-4} > 0$, знак неравенства не меняется):
$5^{x-4} > \frac{3^{x-3}}{3^{x-4}}$
Упростим правую часть, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^{x-4} > 3^{(x-3)-(x-4)}$
$5^{x-4} > 3^{1}$, то есть $5^{x-4} > 3$.
Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_5(5^{x-4}) > \log_5(3)$
$x-4 > \log_5(3)$
$x > 4 + \log_5(3)$

Ответ: $x \in (4 + \log_5(3); +\infty)$

г) Исходное неравенство: $6^{x+5} < 3^{x+6}$.
Представим основание 6 как произведение $2 \cdot 3$: $(2 \cdot 3)^{x+5} < 3^{x+6}$.
Раскроем скобки в левой части: $2^{x+5} \cdot 3^{x+5} < 3^{x+6}$.
Разделим обе части неравенства на $3^{x+5}$ (так как $3^{x+5} > 0$, знак неравенства не меняется):
$2^{x+5} < \frac{3^{x+6}}{3^{x+5}}$
Упростим правую часть, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{x+5} < 3^{(x+6)-(x+5)}$
$2^{x+5} < 3^{1}$, то есть $2^{x+5} < 3$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_2(2^{x+5}) < \log_2(3)$
$x+5 < \log_2(3)$
$x < \log_2(3) - 5$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(3) - 5)$

7.30 a) $5^{x^2 - 2x} > 2^{2x - 2};$

В) $3^{x^2 - x} > 5^{x - 1};$

Б) $3^{x^2 - x} < 2^{1 - x};$

Г) $7^{x^2 - 5x} < 6^{5 - x}.$

а) Дано показательное неравенство $5^{x^2-2x} > 2^{x-2}$.

Заметим, что показатель степени в левой части можно разложить на множители: $x^2-2x = x(x-2)$. Это позволяет увидеть общий множитель $(x-2)$ в показателях обеих частей неравенства. Неравенство принимает вид:

$5^{x(x-2)} > 2^{x-2}$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\log_5(5^{x(x-2)}) > \log_5(2^{x-2})$

$x(x-2) > (x-2)\log_5(2)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки.

$x(x-2) - (x-2)\log_5(2) > 0$

$(x-2)(x - \log_5(2)) > 0$

Полученное квадратное неравенство решим методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(x-2)(x - \log_5(2)) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \log_5(2)$.

Оценим значение $\log_5(2)$. Поскольку $5^0 = 1$ и $5^1 = 5$, то $1 < 2 < 5$, из чего следует, что $0 < \log_5(2) < 1$. Таким образом, $\log_5(2) < 2$.

Графиком функции $y = (x-2)(x - \log_5(2))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется для значений $x$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, решением является объединение интервалов $x < \log_5(2)$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_5(2)) \cup (2; +\infty)$.

б) Дано показательное неравенство $3^{x^2-x} < 2^{1-x}$.

Преобразуем показатели степеней, чтобы выделить общий множитель. $x^2-x = x(x-1)$ и $1-x = -(x-1)$. Неравенство можно переписать в виде:

$3^{x(x-1)} < 2^{-(x-1)}$

$3^{x(x-1)} < (1/2)^{x-1}$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 3. Так как $3 > 1$, знак неравенства не меняется.

$\log_3(3^{x(x-1)}) < \log_3((1/2)^{x-1})$

$x(x-1) < (x-1)\log_3(1/2)$

Перенесем все в левую часть и вынесем $(x-1)$ за скобки.

$x(x-1) - (x-1)\log_3(1/2) < 0$

$(x-1)(x - \log_3(1/2)) < 0$

Используя свойство логарифма $\log_a(1/b) = -\log_a(b)$, получаем:

$(x-1)(x + \log_3(2)) < 0$

Корни этого квадратного неравенства: $x_1 = 1$ и $x_2 = -\log_3(2)$.

Оценим значение $-\log_3(2)$. Так как $3^0 < 2 < 3^1$, то $0 < \log_3(2) < 1$, и $-1 < -\log_3(2) < 0$.

Парабола $y = (x-1)(x + \log_3(2))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-\log_3(2) < x < 1$.

Ответ: $x \in (-\log_3(2); 1)$.

в) Дано показательное неравенство $3^{x^2-x} > 5^{x-1}$.

Выделим в показателях общий множитель $(x-1)$. $x^2-x = x(x-1)$. Неравенство примет вид:

$3^{x(x-1)} > 5^{x-1}$

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Знак неравенства сохранится, так как $3 > 1$.

$\log_3(3^{x(x-1)}) > \log_3(5^{x-1})$

$x(x-1) > (x-1)\log_3(5)$

Перенесем все члены в левую часть и факторизуем.

$x(x-1) - (x-1)\log_3(5) > 0$

$(x-1)(x - \log_3(5)) > 0$

Корни квадратного неравенства: $x_1 = 1$ и $x_2 = \log_3(5)$.

Оценим значение $\log_3(5)$. Так как $3^1 = 3$ и $3^2 = 9$, то $3 < 5 < 9$, и значит $1 < \log_3(5) < 2$.

Парабола $y = (x-1)(x - \log_3(5))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Таким образом, $x < 1$ или $x > \log_3(5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (\log_3(5); +\infty)$.

г) Дано показательное неравенство $7^{x^2-5x} < 6^{5-x}$.

Преобразуем показатели: $x^2-5x = x(x-5)$ и $5-x = -(x-5)$. Неравенство примет вид:

$7^{x(x-5)} < 6^{-(x-5)}$

$7^{x(x-5)} < (1/6)^{x-5}$

Прологарифмируем обе части по основанию 7. Знак неравенства сохранится, так как $7 > 1$.

$\log_7(7^{x(x-5)}) < \log_7((1/6)^{x-5})$

$x(x-5) < (x-5)\log_7(1/6)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель.

$x(x-5) - (x-5)\log_7(1/6) < 0$

$(x-5)(x - \log_7(1/6)) < 0$

Используя свойство логарифма $\log_a(1/b) = -\log_a(b)$, получаем:

$(x-5)(x + \log_7(6)) < 0$

Корни этого квадратного неравенства: $x_1 = 5$ и $x_2 = -\log_7(6)$.

Оценим значение $-\log_7(6)$. Так как $7^0 = 1$ и $7^1 = 7$, то $1 < 6 < 7$, следовательно $0 < \log_7(6) < 1$, и $-1 < -\log_7(6) < 0$.

Парабола $y = (x-5)(x + \log_7(6))$ ветвями направлена вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $-\log_7(6) < x < 5$.

Ответ: $x \in (-\log_7(6); 5)$.

7.31* a) $3^{4x + \sin x} > 3^{\sin x + 2};$

б) $16^{\sqrt[3]{3x - 50}} < 16^{\sqrt[3]{2x + 20}};$

В) $(x^2 - \sin x)^{17} > (x^2 + 0,5)^{17};$

Г) $(x^8 + \cos x)^{13} < (x^8 - 0,5)^{13};$

Д) $\sqrt[3]{3 \sin^2 x + 4^x - 3} > \sqrt[3]{-3 \cos^2 x + 2^x};$

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28} < \sqrt[5]{-\cos^2 x + 9^x}.$

а) $3^{4x + \sin x} > 3^{\sin x + 2}$

Данное неравенство является показательным. Так как основание степени $a = 3$, а $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является строго возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для показателей степеней:

$4x + \sin x > \sin x + 2$

Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $\sin x$:

$4x > 2$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x > \frac{2}{4}$

$x > \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $16^{\sqrt[3]{3x - 50}} < 16^{\sqrt[3]{2x + 20}}$

Это показательное неравенство с основанием $a = 16$. Так как $16 > 1$, функция $y = 16^t$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство сводится к неравенству для показателей:

$\sqrt[3]{3x - 50} < \sqrt[3]{2x + 20}$

Функция $y = \sqrt[3]{t}$ (кубический корень) является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому можно возвести обе части неравенства в куб, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{3x - 50})^3 < (\sqrt[3]{2x + 20})^3$

$3x - 50 < 2x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 2x < 20 + 50$

$x < 70$

Ответ: $x \in (-\infty; 70)$.

в) $(x^2 - \sin x)^{17} > (x^2 + 0.5)^{17}$

Это степенное неравенство. Так как показатель степени $n = 17$ является нечетным числом, функция $y = t^{17}$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - \sin x > x^2 + 0.5$

Вычтем из обеих частей неравенства $x^2$:

$-\sin x > 0.5$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin x < -0.5$

Решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -0.5$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{5\pi}{6}$. На единичной окружности значения синуса меньше $-0.5$ соответствуют дуге, расположенной ниже прямой $y = -0.5$. Это интервал между $-\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение имеет вид:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $(x^8 + \cos x)^{13} < (x^8 - 0.5)^{13}$

Показатель степени $n = 13$ — нечетное число, поэтому функция $y = t^{13}$ является строго возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$x^8 + \cos x < x^8 - 0.5$

Вычтем из обеих частей $x^8$:

$\cos x < -0.5$

Решим тригонометрическое неравенство. Корни уравнения $\cos x = -0.5$ на промежутке $[0, 2\pi]$ — это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. На единичной окружности значения косинуса меньше $-0.5$ соответствуют дуге, расположенной левее прямой $x = -0.5$. Это интервал между $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение с учетом периодичности:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $\sqrt[3]{3\sin^2 x + 4^x - 3} > \sqrt[3]{-3\cos^2 x + 2^x}$

Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей, поэтому неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$3\sin^2 x + 4^x - 3 > -3\cos^2 x + 2^x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

$(3\sin^2 x + 3\cos^2 x) + 4^x - 2^x - 3 > 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$3(1) + 4^x - 2^x - 3 > 0$

$3 + 4^x - 2^x - 3 > 0$

$4^x - 2^x > 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2^x > 0$

Сделаем замену $y = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, то $y > 0$.

$y^2 - y > 0 \implies y(y - 1) > 0$

Решением этого неравенства являются $y < 0$ или $y > 1$. Учитывая, что $y > 0$, остается только $y > 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x > 1$

$2^x > 2^0$

Так как основание $2 > 1$, то $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28} < \sqrt[5]{-\cos^2 x + 9^x}$

Функция $y = \sqrt[5]{t}$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство можно переписать для подкоренных выражений:

$\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28 < -\cos^2 x + 9^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x + \cos^2 x - 9^x + 12 \cdot 3^x - 28 < 0$

Применим тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 - 9^x + 12 \cdot 3^x - 28 < 0$

$-9^x + 12 \cdot 3^x - 27 < 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$9^x - 12 \cdot 3^x + 27 > 0$

Пусть $y = 3^x$, тогда $9^x = (3^x)^2 = y^2$. Так как $3^x > 0$, то $y > 0$. Неравенство принимает вид:

$y^2 - 12y + 27 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 12y + 27 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$. Так как парабола $f(y) = y^2 - 12y + 27$ имеет ветви вверх, неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < 3$ или $y > 9$. Возвращаемся к замене:

1) $y < 3 \implies 3^x < 3$. Так как $3=3^1$ и основание $3>1$, то $x < 1$.

2) $y > 9 \implies 3^x > 9$. Так как $9=3^2$ и основание $3>1$, то $x > 2$.

Объединяя эти два случая, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

7.32 a) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x}$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x}$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}$

г) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}$

а) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x}$
Приведем все множители к основанию 3:
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$
$9^{4x} = (3^2)^{4x} = 3^{8x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{3/2} \cdot 3^{-6x^2} \ge 3^{8x}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:
$3^{3/2 - 6x^2} \ge 3^{8x}$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$3/2 - 6x^2 \ge 8x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного неравенства:
$-6x^2 - 8x + 3/2 \ge 0$
Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$, при этом изменив знак неравенства на противоположный:
$12x^2 + 16x - 3 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 + 16x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
Парабола $y = 12x^2 + 16x - 3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=12 > 0$). Следовательно, неравенство $12x^2 + 16x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; \frac{1}{6}]$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x}$
Приведем все множители к основанию 2:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}$
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$
Подставим в неравенство:
$2^{5/2} \cdot 2^{-4x^2} \ge 2^{9x}$
$2^{5/2 - 4x^2} \ge 2^{9x}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$5/2 - 4x^2 \ge 9x$
$-4x^2 - 9x + 5/2 \ge 0$
Умножим на -2 и изменим знак неравенства:
$8x^2 + 18x - 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ имеет ветви, направленные вверх ($a=8 > 0$), поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in [-\frac{5}{2}; \frac{1}{4}]$

в) $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \le (\frac{1}{8})^{-3x}$
Приведем все к основанию 2:
$4 = 2^2$
$(\frac{1}{2})^{5x^2} = (2^{-1})^{5x^2} = 2^{-5x^2}$
$(\frac{1}{8})^{-3x} = ((2^{-3}))^{-3x} = 2^{9x}$
Подставим в неравенство:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \le 2^{9x}$
$2^{2 - 5x^2} \le 2^{9x}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \le 9x$
$-5x^2 - 9x + 2 \le 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$), поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$

г) $125 \cdot (\frac{1}{5})^{x^2} \le (\frac{1}{25})^{-4x}$
Приведем все к основанию 5:
$125 = 5^3$
$(\frac{1}{5})^{x^2} = (5^{-1})^{x^2} = 5^{-x^2}$
$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{8x}$
Подставим в неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-x^2} \le 5^{8x}$
$5^{3 - x^2} \le 5^{8x}$
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 \le 8x$
$-x^2 - 8x + 3 \le 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 64 + 12 = 76$
$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$
$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{19}}{2} = -4 - \sqrt{19}$
$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{19}}{2} = -4 + \sqrt{19}$
Парабола $y = x^2 + 8x - 3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}; +\infty)$

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $2x^2 + 2x - a^2 < 4^x$ содержатся в интервале $(-1; 1)$?

Преобразуем исходное неравенство, приведя обе части к основанию 2:

$2^{x^2+2x-a^2} < (2^2)^x$

$2^{x^2+2x-a^2} < 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак, что и исходное неравенство. Переходим к неравенству для показателей:

$x^2 + 2x - a^2 < 2x$

Упростим полученное неравенство, вычтя $2x$ из обеих частей:

$x^2 - a^2 < 0$

Разложим левую часть на множители как разность квадратов:

$(x-a)(x+a) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал, заключенный между его корнями $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

Чтобы определить этот интервал, рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > 0$, то $-a < a$. Решением является интервал $x \in (-a, a)$.

2. Если $a < 0$, то $a < -a$. Решением является интервал $x \in (a, -a)$.

3. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид $x^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, то есть множество решений пустое ($\emptyset$).

Все три случая можно объединить, используя модуль параметра $a$. Решением неравенства является интервал $(-|a|, |a|)$. Заметим, что при $a=0$ мы получаем интервал $(0,0)$, что соответствует пустому множеству.

По условию задачи все решения неравенства должны содержаться в интервале $(-1; 1)$. Это означает, что найденное множество решений $(-|a|, |a|)$ должно быть подмножеством интервала $(-1; 1)$:

$(-|a|, |a|) \subseteq (-1, 1)$

Это включение будет верным тогда и только тогда, когда концы интервала $(-|a|, |a|)$ лежат внутри или совпадают с концами интервала $(-1, 1)$. Это можно записать в виде системы неравенств:

$-1 \le -|a|$ и $|a| \le 1$.

Рассмотрим первое неравенство: $-1 \le -|a|$. Умножив обе его части на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим $|a| \le 1$.

Второе неравенство в системе также имеет вид $|a| \le 1$. Таким образом, вся система равносильна одному неравенству:

$|a| \le 1$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 \le a \le 1$

Следовательно, все решения исходного неравенства содержатся в интервале $(-1; 1)$ при значениях параметра $a$, принадлежащих отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.