Страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.10* a) $\sqrt{\log_2^2 x + 3} = \log_2 x - 1;$

в) $\sqrt{4^{x+1} - 2^{x+1} - 3} = 2^x + 1;$

д) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x;$

б) $\sqrt{\log_3^2 x + 5} = 1 - \log_3 x;$

г) $\sqrt{3 \cdot 4^x - 2^x + 2} = 2^x + 1;$

е) $\sqrt{1 + \sin x} = \cos x.$

а)

Дано уравнение $\sqrt{\log_2^2 x + 3} = \log_2 x - 1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_2^2 x + 3 \ge 0$. Это верно для любого действительного значения $\log_2 x$, так как $\log_2^2 x \ge 0$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как значение квадратного корня неотрицательно: $\log_2 x - 1 \ge 0$, что означает $\log_2 x \ge 1$. Отсюда $x \ge 2^1$, то есть $x \ge 2$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{y^2 + 3} = y - 1$.
При этом условие на новую переменную: $y \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 + 3 = (y - 1)^2$
$y^2 + 3 = y^2 - 2y + 1$
$3 = -2y + 1$
$2y = 1 - 3$
$2y = -2$
$y = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \ge 1$. $-1 \ge 1$ — это неверно. Следовательно, уравнение для $y$ не имеет решений, удовлетворяющих условию. Значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

б)

Дано уравнение $\sqrt{\log_3^2 x + 5} = 1 - \log_3 x$.

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_3^2 x + 5 \ge 0$ (верно всегда).
3. $1 - \log_3 x \ge 0 \implies \log_3 x \le 1 \implies x \le 3^1=3$.

Общая ОДЗ: $0 < x \le 3$.

Сделаем замену $y = \log_3 x$. Уравнение становится: $\sqrt{y^2 + 5} = 1 - y$.
Условие на $y$: $y \le 1$.

Возводим в квадрат: $y^2 + 5 = (1 - y)^2$
$y^2 + 5 = 1 - 2y + y^2$
$5 = 1 - 2y$
$2y = 1 - 5$
$2y = -4$
$y = -2$

Проверяем условие $y \le 1$: $-2 \le 1$ — верно.

Выполняем обратную замену: $\log_3 x = -2$
$x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Проверяем, входит ли корень в ОДЗ ($0 < x \le 3$): $0 < \frac{1}{9} \le 3$ — верно.

Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

в)

Дано уравнение $\sqrt{4^{x+1} - 2^{x+1} - 3} = 2^x + 1$.

Преобразуем подкоренное выражение: $4^{x+1} - 2^{x+1} - 3 = 4 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x - 3 = 4 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 3$. Сделаем замену $t = 2^x$. Так как $x$ — любое действительное число, то $t > 0$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{4t^2 - 2t - 3} = t + 1$.

ОДЗ для $t$:
1. $t > 0$.
2. $t+1 \ge 0$ (верно, так как $t>0$).
3. $4t^2 - 2t - 3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 2t - 3 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(4)(-3) = 4 + 48 = 52$. Корни: $t = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$. Неравенство выполняется при $t \le \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ или $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$. Учитывая $t>0$, получаем $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$.

Возводим обе части уравнения в квадрат: $4t^2 - 2t - 3 = (t + 1)^2$
$4t^2 - 2t - 3 = t^2 + 2t + 1$
$3t^2 - 4t - 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$t_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит, так как $t > 0$. Проверим корень $t_1 = 2$ на соответствие ОДЗ: $2 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$. $8 \ge 1 + \sqrt{13} \implies 7 \ge \sqrt{13} \implies 49 \ge 13$. Верно. Значит, $t=2$ — корень уравнения.

Выполняем обратную замену: $2^x = 2 \implies x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{3 \cdot 4^x - 2^x + 2} = 2^x + 1$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение: $\sqrt{3t^2 - t + 2} = t + 1$.

ОДЗ для $t$:
1. $t > 0$.
2. $t+1 \ge 0$ (верно при $t > 0$).
3. $3t^2 - t + 2 \ge 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(2) = 1 - 24 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент $3 > 0$, трехчлен всегда положителен. Это условие выполняется для любого $t$.

Возводим в квадрат: $3t^2 - t + 2 = (t + 1)^2$
$3t^2 - t + 2 = t^2 + 2t + 1$
$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Обратная замена: 1. $2^x = 1 \implies x = 0$.
2. $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

д)

Дано уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ:
1. $1 - \cos x \ge 0$ (верно всегда, так как $\cos x \le 1$).
2. $\sin x \ge 0$. Это соответствует $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Возводим обе части в квадрат: $1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$
$\cos^2 x - \cos x = 0$
$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\sin x \ge 0$).
При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (четные $n$), $\sin x = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.
При $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (нечетные $n$), $\sin x = -1 < 0$. Эти корни не подходят. Остается серия корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\sin x \ge 0$).
При $x = 2\pi k$, $\sin x = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\sqrt{1 + \sin x} = \cos x$.

ОДЗ:
1. $1 + \sin x \ge 0$ (верно всегда, так как $\sin x \ge -1$).
2. $\cos x \ge 0$. Это соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Возводим в квадрат: $1 + \sin x = \cos^2 x$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $1 + \sin x = 1 - \sin^2 x$
$\sin^2 x + \sin x = 0$
$\sin x (\sin x + 1) = 0$

Получаем два случая:
1. $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\cos x \ge 0$).
При $x = 2\pi k$ (четные $n$), $\cos x = 1 \ge 0$. Корни подходят.
При $x = \pi + 2\pi k$ (нечетные $n$), $\cos x = -1 < 0$. Корни не подходят. Остается серия $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Проверяем по ОДЗ ($\cos x \ge 0$).
При $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\cos x = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8.11* а) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10;$

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6;$

в) $|2 \lg x - 3| = 3 \lg x - 2;$

г) $|3 \lg x - 4| = 2 \lg x - 1;$

д) $|2^{x+1} - 7| = 5 - 2^x;$

е) $|2^{x+1} - 7| = 2^x + 1.$

а) Исходное уравнение $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10$ имеет вид $|f(x)| = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна ($g(x) \geq 0$), и подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей ($f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$).
Проверим условие $g(x) \geq 0$: $x^2 - 6x + 10 \geq 0$.
Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Так как старший коэффициент ($1$) положителен, а дискриминант отрицателен, то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любых значениях $x$. Следовательно, дополнительных ограничений на $x$ нет.
Рассмотрим два возможных случая:
1) $x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 10$
$-4x + 2 = -6x + 10$
$2x = 8$
$x = 4$
2) $x^2 - 4x + 2 = -(x^2 - 6x + 10)$
$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 10$
$2x^2 - 10x + 12 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, у исходного уравнения три корня.
Ответ: $2, 3, 4$.

б) Решаем уравнение $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6$ по аналогии с пунктом а).
Проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 4x + 6 \geq 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Так как старший коэффициент ($1$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $x^2 - 4x + 6$ всегда положительно. Ограничений на $x$ нет.
Рассмотрим два случая:
1) $x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 6$
$-2x - 2 = -4x + 6$
$2x = 8$
$x = 4$
2) $x^2 - 2x - 2 = -(x^2 - 4x + 6)$
$x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 4x - 6$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $1, 2, 4$.

в) Дано уравнение $|2\lg x - 3| = 3\lg x - 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Введем замену переменной: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид: $|2t - 3| = 3t - 2$.
Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $3t - 2 \geq 0$, откуда $t \geq \frac{2}{3}$.
Рассмотрим два случая с учетом этого условия:
1) $2t - 3 = 3t - 2$
$-t = 1 \implies t = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \geq \frac{2}{3}$, значит, он посторонний.
2) $2t - 3 = -(3t - 2)$
$2t - 3 = -3t + 2$
$5t = 5 \implies t = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{2}{3}$.
Таким образом, единственное решение для $t$ это $t=1$.
Выполним обратную замену: $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Найденный корень удовлетворяет ОДЗ ($10 > 0$).
Ответ: $10$.

г) Дано уравнение $|3\lg x - 4| = 2\lg x - 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \lg x$. Уравнение станет: $|3t - 4| = 2t - 1$.
Условие неотрицательности правой части: $2t - 1 \geq 0 \implies t \geq \frac{1}{2}$.
Решаем два случая:
1) $3t - 4 = 2t - 1$
$t = 3$. Корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{1}{2}$.
2) $3t - 4 = -(2t - 1)$
$3t - 4 = -2t + 1$
$5t = 5 \implies t = 1$. Корень удовлетворяет условию $t \geq \frac{1}{2}$.
Получили два решения для $t$: $t_1=3$ и $t_2=1$.
Выполним обратную замену:
Если $t=3$, то $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.
Если $t=1$, то $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10, 1000$.

д) Дано уравнение $|2^{x+1} - 7| = 5 - 2^x$.
Перепишем $2^{x+1}$ как $2 \cdot 2^x$.
Введем замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, то $t > 0$.
Уравнение примет вид: $|2t - 7| = 5 - t$.
Условие неотрицательности правой части: $5 - t \geq 0 \implies t \leq 5$.
С учетом $t>0$, получаем итоговое ограничение на $t$: $0 < t \leq 5$.
Рассмотрим два случая:
1) $2t - 7 = 5 - t$
$3t = 12 \implies t = 4$. Значение удовлетворяет условию $0 < t \leq 5$.
2) $2t - 7 = -(5 - t)$
$2t - 7 = -5 + t \implies t = 2$. Значение удовлетворяет условию $0 < t \leq 5$.
Найдены два значения для $t$: $t_1=4$ и $t_2=2$.
Выполним обратную замену:
$2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.
$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
Ответ: $1, 2$.

е) Дано уравнение $|2^{x+1} - 7| = 2^x + 1$.
Введем замену $t = 2^x$ ($t > 0$).
Уравнение примет вид: $|2t - 7| = t + 1$.
Правая часть $t+1$ всегда положительна, так как $t>0$. Поэтому дополнительных ограничений нет.
Рассмотрим два случая:
1) $2t - 7 = t + 1$
$t = 8$.
2) $2t - 7 = -(t + 1)$
$2t - 7 = -t - 1$
$3t = 6 \implies t = 2$.
Оба значения $t$ положительны и являются решениями.
Выполним обратную замену:
$2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.
Ответ: $1, 3$.

8.12* ИССЛЕДУЕМ.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $\sqrt{x^2 + 6x - 2a} = x + 2$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $\sqrt{x^2 + 6x - 2a} = x + 2$ является иррациональным. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$

Применительно к нашему случаю, система будет выглядеть так:

$$ \begin{cases} x^2 + 6x - 2a = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} $$

Обратите внимание, что условие $x^2 + 6x - 2a \ge 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) выполняется автоматически, так как $x^2 + 6x - 2a$ приравнивается к квадрату $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.

Решим первое уравнение системы:

$$ x^2 + 6x - 2a = x^2 + 4x + 4 $$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ в обеих частях:

$$ 6x - 2a = 4x + 4 $$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а остальные — в правую:

$$ 6x - 4x = 2a + 4 $$

$$ 2x = 2a + 4 $$

$$ x = a + 2 $$

Мы получили, что при любом значении параметра $a$ первое уравнение системы имеет единственный корень $x = a + 2$.

Теперь нужно, чтобы этот корень удовлетворял второму условию системы, то есть неравенству $x + 2 \ge 0$. Подставим в него найденное выражение для $x$:

$$ (a + 2) + 2 \ge 0 $$

$$ a + 4 \ge 0 $$

$$ a \ge -4 $$

Таким образом, мы получили следующее:

• Если $a \ge -4$, то корень $x = a + 2$ существует и удовлетворяет всем условиям системы. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.
• Если $a < -4$, то корень $x = a + 2$, полученный из первого уравнения, не удовлетворяет условию $x + 2 \ge 0$. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Значит, уравнение имеет единственный корень при $a \ge -4$.

Ответ: $a \in [-4; +\infty)$.