Страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (8.32—8.41):

8.32 a) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4;$

б) $\sqrt{2x+6} = 2 + \sqrt{x+1};$

в) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2;$

г) $\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x+5} = 5.$

а) $\sqrt{2x - 3} + \sqrt{4x + 1} = 4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 4x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \ge -0.25 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$.

2. Уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\sqrt{4x + 1} = 4 - \sqrt{2x - 3}$
$(\sqrt{4x + 1})^2 = (4 - \sqrt{2x - 3})^2$
$4x + 1 = 16 - 8\sqrt{2x - 3} + (2x - 3)$
$4x + 1 = 13 + 2x - 8\sqrt{2x - 3}$

3. Уединим оставшийся корень:
$4x - 2x + 1 - 13 = -8\sqrt{2x - 3}$
$2x - 12 = -8\sqrt{2x - 3}$
Разделим обе части на 2:
$x - 6 = -4\sqrt{2x - 3}$

4. Снова возведем в квадрат. Так как правая часть $-4\sqrt{2x - 3} \le 0$, то и левая часть должна быть $x - 6 \le 0$, то есть $x \le 6$. С учетом ОДЗ получаем ограничение $1.5 \le x \le 6$.
$(x - 6)^2 = (-4\sqrt{2x - 3})^2$
$x^2 - 12x + 36 = 16(2x - 3)$
$x^2 - 12x + 36 = 32x - 48$
$x^2 - 44x + 84 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1936 - 336 = 1600 = 40^2$
$x_1 = \frac{44 - 40}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{44 + 40}{2} = \frac{84}{2} = 42$

6. Проверим корни. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $1.5 \le x \le 6$. Корень $x_2 = 42$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, значит, это посторонний корень.
Проверка для $x=2$: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Ответ: 2.

б) $\sqrt{2x + 6} = 2 + \sqrt{x + 1}$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -6 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
Общая область: $x \ge -1$.

2. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x + 1})^2$
$2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x + 1} + (x + 1)$
$2x + 6 = 5 + x + 4\sqrt{x + 1}$

3. Уединим корень:
$2x - x + 6 - 5 = 4\sqrt{x + 1}$
$x + 1 = 4\sqrt{x + 1}$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 1 \ge 0$ совпадает с ОДЗ.
$(x + 1)^2 = (4\sqrt{x + 1})^2$
$(x + 1)^2 = 16(x + 1)$
$(x + 1)^2 - 16(x + 1) = 0$
$(x + 1)(x + 1 - 16) = 0$
$(x + 1)(x - 15) = 0$
$x_1 = -1$ или $x_2 = 15$.

5. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.
При $x = -1$: $\sqrt{2(-1) + 6} = \sqrt{4} = 2$; $2 + \sqrt{-1 + 1} = 2 + 0 = 2$. $2 = 2$. Верно.
При $x = 15$: $\sqrt{2(15) + 6} = \sqrt{36} = 6$; $2 + \sqrt{15 + 1} = 2 + \sqrt{16} = 2 + 4 = 6$. $6 = 6$. Верно.

Ответ: -1; 15.

в) $\sqrt{4x + 8} - \sqrt{3x - 2} = 2$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 8 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge -8 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$
Общая область: $x \ge 2/3$.

2. Уединим один из корней и возведем в квадрат:
$\sqrt{4x + 8} = 2 + \sqrt{3x - 2}$
$(\sqrt{4x + 8})^2 = (2 + \sqrt{3x - 2})^2$
$4x + 8 = 4 + 4\sqrt{3x - 2} + (3x - 2)$
$4x + 8 = 2 + 3x + 4\sqrt{3x - 2}$

3. Уединим оставшийся корень:
$4x - 3x + 8 - 2 = 4\sqrt{3x - 2}$
$x + 6 = 4\sqrt{3x - 2}$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$ выполняется, так как по ОДЗ $x \ge 2/3$.
$(x + 6)^2 = (4\sqrt{3x - 2})^2$
$x^2 + 12x + 36 = 16(3x - 2)$
$x^2 + 12x + 36 = 48x - 32$
$x^2 - 36x + 68 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 1296 - 272 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{36 - 32}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{36 + 32}{2} = \frac{68}{2} = 34$

6. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 2/3$). Проведем проверку.
При $x = 2$: $\sqrt{4(2) + 8} - \sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Верно.
При $x = 34$: $\sqrt{4(34) + 8} - \sqrt{3(34) - 2} = \sqrt{136+8} - \sqrt{102-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$. Верно.

Ответ: 2; 34.

г) $\sqrt{3x - 2} + \sqrt{2x + 5} = 5$

1. ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 2 \\ 2x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2/3 \\ x \ge -2.5 \end{cases}$
Общая область: $x \ge 2/3$.

2. Уединим корень и возведем в квадрат:
$\sqrt{2x + 5} = 5 - \sqrt{3x - 2}$
$(\sqrt{2x + 5})^2 = (5 - \sqrt{3x - 2})^2$
$2x + 5 = 25 - 10\sqrt{3x - 2} + (3x - 2)$
$2x + 5 = 23 + 3x - 10\sqrt{3x - 2}$

3. Уединим оставшийся корень:
$10\sqrt{3x - 2} = 23 + 3x - 2x - 5$
$10\sqrt{3x - 2} = x + 18$

4. Снова возведем в квадрат. Условие $x + 18 \ge 0 \implies x \ge -18$ выполняется, так как $x \ge 2/3$.
$(10\sqrt{3x - 2})^2 = (x + 18)^2$
$100(3x - 2) = x^2 + 36x + 324$
$300x - 200 = x^2 + 36x + 324$
$x^2 - 264x + 524 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:
$D = (-264)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 524 = 69696 - 2096 = 67600 = 260^2$
$x_1 = \frac{264 - 260}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{264 + 260}{2} = \frac{524}{2} = 262$

6. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 2/3$). При возведении в квадрат на шаге 2 мы неявно ввели условие $5 - \sqrt{3x - 2} \ge 0$, так как $\sqrt{2x+5}$ неотрицателен. Проверим это условие: $5 \ge \sqrt{3x-2} \implies 25 \ge 3x-2 \implies 27 \ge 3x \implies x \le 9$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \le 9$.
Корень $x_2 = 262$ не удовлетворяет условию $x \le 9$, это посторонний корень.
Проверка для $x = 2$: $\sqrt{3(2) - 2} + \sqrt{2(2) + 5} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$. Верно.

Ответ: 2.

8.33 a) $\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{3x+3}$;

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = \sqrt{2x+19}$;

B) $\sqrt{6x+1} - \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}$;

г) $\sqrt{9-5x} - \sqrt{x-1} = 2\sqrt{2-x}$.

а) $\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{3x+3}$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+2 \ge 0$, $2x-3 \ge 0$, $3x+3 \ge 0$. Решая эти неравенства, получаем: $x \ge -2$, $x \ge 1.5$, $x \ge -1$. Пересечением этих условий является $x \ge 1.5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1.5, +\infty)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{2x-3})^2 = (\sqrt{3x+3})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(2x-3)} + (2x-3) = 3x+3$
$3x - 1 + 2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 3x+3$
Уединим корень:
$2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 3x+3 - (3x-1)$
$2\sqrt{2x^2 + x - 6} = 4$
$\sqrt{2x^2 + x - 6} = 2$
Снова возведем в квадрат:
$2x^2 + x - 6 = 4$
$2x^2 + x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 1.5$). Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x=-2.5$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Выполним проверку для $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{2+2} + \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$.
Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} = \sqrt{9} = 3$.
Поскольку $3=3$, решение верное.
Ответ: $2$.

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} = \sqrt{2x+19}$
Определим ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$; $x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6$; $2x+19 \ge 0 \Rightarrow x \ge -9.5$. Общая область: $x \ge -1$, то есть $x \in [-1, +\infty)$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6})^2 = (\sqrt{2x+19})^2$
$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x+6)} + (x+6) = 2x+19$
$2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x+6} = 2x+19$
Изолируем радикал:
$2\sqrt{x^2+7x+6} = 2x+19 - (2x+7)$
$2\sqrt{x^2+7x+6} = 12$
$\sqrt{x^2+7x+6} = 6$
Снова возводим в квадрат:
$x^2+7x+6 = 36$
$x^2+7x-30 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -1$).
$x=3$ принадлежит ОДЗ.
$x=-10$ не принадлежит ОДЗ.
Проверка для $x=3$: $\sqrt{3+1}+\sqrt{3+6} = \sqrt{4}+\sqrt{9} = 2+3=5$. Правая часть: $\sqrt{2 \cdot 3 + 19} = \sqrt{25} = 5$. $5=5$, решение верное.
Ответ: $3$.

в) $\sqrt{6x+1} - \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}$
Для удобства перенесем один из корней в правую часть: $\sqrt{6x+1} = \sqrt{3x+4} + \sqrt{x-3}$.
Найдем ОДЗ: $6x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1/6$; $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$; $3x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4/3$. Пересечение условий: $x \ge 3$. ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.
В ОДЗ все части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{6x+1})^2 = (\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-3})^2$
$6x+1 = (3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-3)} + (x-3)$
$6x+1 = 4x+1 + 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
Уединим корень:
$6x+1 - (4x+1) = 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
$2x = 2\sqrt{3x^2-5x-12}$
$x = \sqrt{3x^2-5x-12}$
Так как в ОДЗ $x \ge 3$, обе части этого уравнения неотрицательны. Возводим в квадрат:
$x^2 = 3x^2-5x-12$
$2x^2-5x-12 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25+96 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{5+\sqrt{121}}{4} = \frac{16}{4} = 4$ и $x_2 = \frac{5-\sqrt{121}}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$).
$x=4$ подходит.
$x=-1.5$ не подходит.
Проверка для $x=4$: $\sqrt{6 \cdot 4 + 1} - \sqrt{4-3} = \sqrt{25}-\sqrt{1} = 5-1=4$. Правая часть: $\sqrt{3 \cdot 4 + 4} = \sqrt{16}=4$. $4=4$, решение верное.
Ответ: $4$.

г) $\sqrt{9-5x} - \sqrt{x-1} = 2\sqrt{2-x}$
Найдем ОДЗ: $9-5x \ge 0 \Rightarrow x \le 1.8$; $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$; $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. Пересечение: $1 \le x \le 1.8$. ОДЗ: $x \in [1, 1.8]$.
Перенесем корень: $\sqrt{9-5x} = 2\sqrt{2-x} + \sqrt{x-1}$. В ОДЗ все части этого уравнения неотрицательны.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{9-5x})^2 = (2\sqrt{2-x} + \sqrt{x-1})^2$
$9-5x = 4(2-x) + 4\sqrt{(2-x)(x-1)} + (x-1)$
$9-5x = 8-4x + 4\sqrt{-x^2+3x-2} + x-1$
$9-5x = 7-3x + 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
Изолируем корень:
$9-5x - (7-3x) = 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
$2-2x = 4\sqrt{-x^2+3x-2}$
$1-x = 2\sqrt{-x^2+3x-2}$
Правая часть этого уравнения неотрицательна, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$.
Учитывая ОДЗ ($1 \le x \le 1.8$) и новое условие ($x \le 1$), единственным возможным решением является $x=1$.
Проверим $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{9-5(1)} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - 0 = 2$.
Правая часть: $2\sqrt{2-1} = 2\sqrt{1} = 2$.
$2=2$, следовательно, $x=1$ является корнем.
Ответ: $1$.