Страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.34 a) $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$;
б) $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$;
в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$;
г) $\log_3 (x^2 - \sqrt{x^2 - 4 + 1}) = \log_3 (x^3 - \sqrt{x^2 - 4 - 6x + 1})$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x} = 2 + \log_2 x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. Во-вторых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$. В-третьих, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 + \log_2 x \ge 0$.

Решим неравенство $2 + \log_2 x \ge 0$:

$\log_2 x \ge -2$

$x \ge 2^{-2}$

$x \ge \frac{1}{4}$

Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge \frac{1}{4}$, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{1}{4}$. Условие $x^2 + 3 + \log_2 x \ge 0$ будет выполнено автоматически, если мы найдем решения, так как после возведения в квадрат левая часть будет равна квадрату правой части, который неотрицателен.

Возведем обе части уравнения в квадрат при условии, что правая часть неотрицательна (что учтено в ОДЗ):

$(\sqrt{x^2 + 3 + \log_2 x})^2 = (2 + \log_2 x)^2$

$x^2 + 3 + \log_2 x = 4 + 4\log_2 x + (\log_2 x)^2$

Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 1 - x^2 = 0$

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически. Однако можно попробовать найти решение подбором. Проверим "удобное" значение $x=1$, которое удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1/4$).

Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

Левая часть: $\sqrt{1^2 + 3 + \log_2 1} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Правая часть: $2 + \log_2 1 = 2 + 0 = 2$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $1$

б)

Исходное уравнение: $\log_2 \frac{12}{-3-x} = \log_2 (1-x)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $\frac{12}{-3-x} > 0$. Так как числитель 12 положителен, знаменатель также должен быть положителен: $-3-x > 0 \implies x < -3$.

2) $1-x > 0 \implies x < 1$.

Пересечением этих двух условий является $x < -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -3)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{12}{-3-x} = 1-x$

Умножим обе части на $(-3-x)$, что допустимо в ОДЗ:

$12 = (1-x)(-3-x)$

$12 = -3 - x + 3x + x^2$

$12 = x^2 + 2x - 3$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < -3$):

$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 < -3$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 < -3$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-5$

в)

Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$.

Найдем ОДЗ. Наличие $\log_2 x$ требует, чтобы $x > 0$. Также аргументы логарифмов с основанием 1/3 должны быть положительными. Так как мы будем приравнивать аргументы, достаточно проверить положительность одного из них для найденных корней.

$x^4 - 17x^2 + \log_2 x > 0$

$19x^2 + \log_2 x > 0$

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^4 - 17x^2 + \log_2 x = 19x^2 + \log_2 x$

Члены $\log_2 x$ в обеих частях уравнения сокращаются:

$x^4 - 17x^2 = 19x^2$

$x^4 - 36x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 36) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.

2) $x^2 - 36 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6$ или $x = -6$.

Проверим найденные значения $x=0, x=6, x=-6$ на соответствие ОДЗ.

Условие $x > 0$ (из $\log_2 x$) сразу исключает $x=0$ и $x=-6$. Остается проверить $x=6$.

Проверим, положительны ли аргументы логарифмов при $x=6$:

$19x^2 + \log_2 x = 19(6^2) + \log_2 6 = 19 \cdot 36 + \log_2 6 = 684 + \log_2 6$.

Так как $6 > 1$, то $\log_2 6 > 0$, значит $684 + \log_2 6 > 0$. Условие ОДЗ выполняется.

Таким образом, единственным решением является $x=6$.

Ответ: $6$

г)

Исходное уравнение: $\log_3(x^2 - \sqrt{x^2-4}+1) = \log_3(x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1)$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Также аргументы логарифмов должны быть положительны. Мы проверим это условие для найденных корней.

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^2 - \sqrt{x^2-4}+1 = x^3 - \sqrt{x^2-4}-6x+1$

Члены $-\sqrt{x^2-4}$ и $+1$ в обеих частях уравнения сокращаются:

$x^2 = x^3 - 6x$

Перенесем все в одну сторону:

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$.

2) $x^2 - x - 6 = 0$. Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_2=3$ и $x_3=-2$.

Проверим полученные корни $x_1=0, x_2=3, x_3=-2$ на соответствие ОДЗ $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

$x_1 = 0$ не входит в ОДЗ, так как не удовлетворяет условию $|x| \ge 2$.

$x_2 = 3$ входит в ОДЗ, так как $3 \ge 2$.

$x_3 = -2$ входит в ОДЗ, так как $-2 \le -2$.

Теперь проверим, положительны ли аргументы логарифмов для $x=3$ и $x=-2$. Так как при этих значениях аргументы равны, достаточно проверить один из них, например $x^2 - \sqrt{x^2-4}+1$.

При $x=3$: $3^2 - \sqrt{3^2-4}+1 = 9 - \sqrt{5}+1 = 10 - \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} < \sqrt{100}=10$, то $10-\sqrt{5} > 0$. Корень подходит.

При $x=-2$: $(-2)^2 - \sqrt{(-2)^2-4}+1 = 4 - \sqrt{4-4}+1 = 4 - 0 + 1 = 5 > 0$. Корень подходит.

Оба корня, $3$ и $-2$, удовлетворяют всем условиям.

Ответ: $-2; 3$

8.35 а) $\sqrt{\frac{x-1}{x-2}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} + \sqrt{x}$;

б) $\sqrt{\frac{x+3}{x-3}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} + \sqrt{x}$;

В) $\sqrt{\frac{x+1}{x-3}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4}$;

Г) $\sqrt{\frac{x-3}{x+2}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4}$.

a)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} + \sqrt{x} $.

Первым шагом упростим уравнение. Поскольку слагаемое $ \sqrt{x} $ присутствует в обеих частях уравнения, мы можем его сократить:

$ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} $

Далее определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными, а знаменатели дробей не равнялись нулю.

1. Из слагаемого $ \sqrt{x} $ следует, что $ x \ge 0 $.

2. Из левой части $ \frac{x-1}{x-2} \ge 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty, 1] \cup (2, +\infty) $.

3. Из правой части $ \frac{2x-2}{x-6} \ge 0 $, что эквивалентно $ \frac{2(x-1)}{x-6} \ge 0 $. Решая методом интервалов, получаем $ x \in (-\infty, 1] \cup (6, +\infty) $.

Объединяя все условия, находим общую ОДЗ: $ x \in ([0, +\infty) \cap ((-\infty, 1] \cup (2, +\infty)) \cap ((-\infty, 1] \cup (6, +\infty))) $, что дает нам $ x \in [0, 1] \cup (6, +\infty) $.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$ \frac{x-1}{x-2} = \frac{2(x-1)}{x-6} $

Мы видим, что уравнение обращается в верное равенство $ 0 = 0 $, если числитель $ x-1=0 $, то есть $ x=1 $. Этот корень принадлежит ОДЗ, так как $ 1 \in [0, 1] $.

Рассмотрим случай, когда $ x \ne 1 $. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $ (x-1) $:

$ \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-6} $

По свойству пропорции (перекрестное умножение):

$ 1 \cdot (x-6) = 2 \cdot (x-2) $

$ x-6 = 2x-4 $

$ x - 2x = -4 + 6 $

$ -x = 2 \implies x = -2 $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x=-2 $ нашей ОДЗ. Так как $ -2 \notin [0, 1] \cup (6, +\infty) $, этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $ x=1 $.

Ответ: $ x=1 $.

б)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} + \sqrt{x} $.

Сократим $ \sqrt{x} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ x \ge 0 $.

2. $ \frac{x+3}{x-3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3] \cup (3, +\infty) $.

3. $ \frac{2x-6}{x-4} = \frac{2(x-3)}{x-4} \ge 0 \implies x \in (-\infty, 3] \cup (4, +\infty) $.

Также знаменатели не равны нулю: $ x \ne 3 $ и $ x \ne 4 $.

Пересечение всех условий: $ x \ge 0 $, $ x \in (-\infty, -3] \cup (3, +\infty) $, $ x \in (-\infty, 3] \cup (4, +\infty) $. Это дает нам ОДЗ: $ x \in (4, +\infty) $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x+3}{x-3} = \frac{2(x-3)}{x-4} $

Выполним перекрестное умножение:

$ (x+3)(x-4) = 2(x-3)^2 $

$ x^2 - 4x + 3x - 12 = 2(x^2 - 6x + 9) $

$ x^2 - x - 12 = 2x^2 - 12x + 18 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 12x + x + 18 + 12 = 0 $

$ x^2 - 11x + 30 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корнями являются $ x_1=5 $ и $ x_2=6 $.

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ $ x \in (4, +\infty) $.
Корень $ x=5 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 5 > 4 $.
Корень $ x=6 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 6 > 4 $.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $ x=5; x=6 $.

в)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} + 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $.

Сократим $ 3 \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ \frac{x+1}{x-3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup (3, +\infty) $.

2. $ \frac{x+4}{3x-8} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup (8/3, +\infty) $.

3. Аргумент тангенса не должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{\pi x}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{x}{4} \ne \frac{1}{2} + k \implies x \ne 2 + 4k, k \in \mathbb{Z} $.

Пересечение условий для подкоренных выражений: $ ((-\infty, -1] \cup (3, +\infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup (8/3, +\infty)) $ дает $ x \in (-\infty, -4] \cup (3, +\infty) $.
Исключаем значения $ x = 2+4k $. Ни одно из этих значений не попадает в граничные точки интервалов ОДЗ.

Итак, ОДЗ: $ x \in ((-\infty, -4] \cup (3, +\infty)) \setminus \{2+4k | k \in \mathbb{Z}\} $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x+1}{x-3} = \frac{x+4}{3x-8} $

Выполним перекрестное умножение:

$ (x+1)(3x-8) = (x+4)(x-3) $

$ 3x^2 - 8x + 3x - 8 = x^2 - 3x + 4x - 12 $

$ 3x^2 - 5x - 8 = x^2 + x - 12 $

$ 2x^2 - 6x + 4 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1=1 $ и $ x_2=2 $.

Проверим корни по ОДЗ: $ x \in (-\infty, -4] \cup (3, +\infty) $.
Корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ.
Корень $ x=2 $ не входит в ОДЗ (а также исключен условием для тангенса при $ k=0 $).

Поскольку ни один из найденных корней не удовлетворяет ОДЗ, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г)

Дано уравнение: $ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} - \operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $.

Сократим $ -\operatorname{tg} \frac{\pi x}{4} $ в обеих частях:

$ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} $

Найдем ОДЗ:

1. $ \frac{x-3}{x+2} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $.

2. $ \frac{x-3}{2x+3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3/2) \cup [3, +\infty) $.

3. Условие для тангенса: $ x \ne 2 + 4k, k \in \mathbb{Z} $.

Пересечение условий для подкоренных выражений: $ ((-\infty, -2) \cup [3, +\infty)) \cap ((-\infty, -3/2) \cup [3, +\infty)) $ дает $ x \in (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $.
Исключаем значения $ x = 2+4k $.

ОДЗ: $ x \in ((-\infty, -2) \cup [3, +\infty)) \setminus \{2+4k | k \in \mathbb{Z}\} $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \frac{x-3}{x+2} = \frac{x-3}{2x+3} $

Одно из решений — когда числитель равен нулю: $ x-3=0 \implies x=3 $. Проверим этот корень по ОДЗ. $ x=3 $ принадлежит интервалу $ [3, +\infty) $. Также проверим условие тангенса: $ 3 \ne 2+4k $ (так как $ 1=4k $ дает $ k=1/4 $, что не целое). Следовательно, $ x=3 $ является решением.

Рассмотрим случай, когда $ x \ne 3 $. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $ (x-3) $:

$ \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2x+3} $

Отсюда следует, что знаменатели равны:

$ x+2 = 2x+3 $

$ x - 2x = 3 - 2 $

$ -x = 1 \implies x = -1 $

Проверим корень $ x=-1 $ по ОДЗ. $ x=-1 $ не принадлежит области $ (-\infty, -2) \cup [3, +\infty) $, поэтому это посторонний корень.

Единственным решением является $ x=3 $.

Ответ: $ x=3 $.

8.36* a) $2 \log_4 (x + 1) = \log_4 (4x + 9);$

б) $2 \log_5 (x - 1) = \log_5 (7 - x);$

в) $\log_7 (x - 2) + \log_7 (x + 3) = \log_7 (2x^2 - 4x);$

г) $\log_6 (x + 2) + \log_6 (x - 3) = \log_6 (2x^2 - 5x - 6);$

д) $\lg (x - 2) - \lg (x + 3) = \lg \frac{x}{5x + 3};$

е) $\lg (x + 2) - \lg (x - 3) = \lg \frac{5x + 4}{x}.$

а) $2\log_4(x + 1) = \log_4(4x + 9)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 4x + 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -\frac{9}{4} \end{cases} \implies x > -1$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:

$\log_4((x+1)^2) = \log_4(4x+9)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x+1)^2 = 4x+9$

$x^2 + 2x + 1 = 4x+9$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

$x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > -1$.

$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < -1$.

Следовательно, решением является только $x=4$.

Ответ: $4$.

б) $2\log_5(x - 1) = \log_5(7 - x)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < 7 \end{cases} \implies 1 < x < 7$.

Преобразуем уравнение, используя свойство $n\log_a b = \log_a b^n$:

$\log_5((x-1)^2) = \log_5(7-x)$

Приравниваем аргументы:

$(x-1)^2 = 7-x$

$x^2 - 2x + 1 = 7-x$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($1 < x < 7$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию.

$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $3$.

в) $\log_7(x - 2) + \log_7(x + 3) = \log_7(2x^2 - 4x)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ 2x^2 - 4x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -3 \\ 2x(x-2) > 0 \end{cases}$.

Из $2x(x-2) > 0$ следует, что $x < 0$ или $x > 2$. Пересекая все условия, получаем $x > 2$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_7((x-2)(x+3)) = \log_7(2x^2 - 4x)$

Приравниваем аргументы:

$(x-2)(x+3) = 2x^2 - 4x$

$x^2 + x - 6 = 2x^2 - 4x$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Корни квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию (нестрогое неравенство).

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $3$.

г) $\log_6(x + 2) + \log_6(x - 3) = \log_6(2x^2 - 5x - 6)$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 2x^2 - 5x - 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 3 \\ 2x^2 - 5x - 6 > 0 \end{cases}$.

Объединяя первые два неравенства, получаем $x>3$. Проверим, выполняется ли третье неравенство при $x>3$. Корни $2x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+48}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{4}$. Так как $\sqrt{73} \approx 8.54$, то $x_1 \approx -0.885$ и $x_2 \approx 3.385$. Неравенство $2x^2-5x-6 > 0$ выполняется при $x > \frac{5+\sqrt{73}}{4}$. Поскольку $\frac{5+\sqrt{73}}{4} > 3$, ОДЗ: $x > \frac{5+\sqrt{73}}{4}$.

Преобразуем уравнение:

$\log_6((x+2)(x-3)) = \log_6(2x^2 - 5x - 6)$

$(x+2)(x-3) = 2x^2 - 5x - 6$

$x^2 - x - 6 = 2x^2 - 5x - 6$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{5+\sqrt{73}}{4} \approx 3.385$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию.

$x_2 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 3.385$.

Ответ: $4$.

д) $\lg(x - 2) - \lg(x + 3) = \lg\frac{x}{5x+3}$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ \frac{x}{5x+3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -3 \\ x \in (-\infty, -3/5) \cup (0, \infty) \end{cases}$.

Пересечение всех условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\lg\frac{x-2}{x+3} = \lg\frac{x}{5x+3}$

Приравниваем аргументы:

$\frac{x-2}{x+3} = \frac{x}{5x+3}$

$(x-2)(5x+3) = x(x+3)$

$5x^2 + 3x - 10x - 6 = x^2 + 3x$

$4x^2 - 10x - 6 = 0$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49$.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$.

Корни: $x_1 = \frac{12}{4} = 3$, $x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию.

$x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $3$.

е) $\lg(x + 2) - \lg(x - 3) = \lg\frac{5x+4}{x}$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ \frac{5x+4}{x} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > 3 \\ x \in (-\infty, -4/5) \cup (0, \infty) \end{cases}$.

Пересечение всех условий дает ОДЗ: $x > 3$.

Преобразуем уравнение:

$\lg\frac{x+2}{x-3} = \lg\frac{5x+4}{x}$

Приравниваем аргументы:

$\frac{x+2}{x-3} = \frac{5x+4}{x}$

$x(x+2) = (x-3)(5x+4)$

$x^2 + 2x = 5x^2 + 4x - 15x - 12$

$x^2 + 2x = 5x^2 - 11x - 12$

$4x^2 - 13x - 12 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4(4)(-12) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.

$x = \frac{13 \pm 19}{8}$.

Корни: $x_1 = \frac{32}{8} = 4$, $x_2 = \frac{-6}{8} = -0.75$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):

$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.

$x_2 = -0.75$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $4$.

8.37 а) $\sqrt{x - 5\sqrt{x} - 6} = \sqrt{x - 2};$

б) $\sqrt{x - 3\sqrt{x} - 7} = \sqrt{x + 3};$

в) $\frac{\sqrt{7x - 21}}{\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{5x - 17}}{2};$

г) $\frac{\sqrt{3x - 7}}{\sqrt{x + 3}} = \sqrt{3 - 4x}.$

а) Решим уравнение $\sqrt{x-5\sqrt{x}-6} = \sqrt{x-2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:
1) $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$)
2) $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
3) $x-5\sqrt{x}-6 \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Получим квадратное неравенство $t^2 - 5t - 6 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $t^2 - 5t - 6 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $t \le -1$ или $t \ge 6$. Учитывая, что $t = \sqrt{x} \ge 0$, нам подходит только условие $t \ge 6$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем $\sqrt{x} \ge 6$, что означает $x \ge 36$.
Объединяя все условия ($x \ge 2$ и $x \ge 36$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 36$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x-5\sqrt{x}-6})^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$x-5\sqrt{x}-6 = x-2$
Перенесем $x$ в одну сторону:
$-5\sqrt{x}-6 = -2$
$-5\sqrt{x} = 4$
$\sqrt{x} = -\frac{4}{5}$
Данное уравнение не имеет действительных решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б) Решим уравнение $\sqrt{x-3\sqrt{x}-7} = \sqrt{x+3}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1) $x \ge 0$
2) $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
3) $x-3\sqrt{x}-7 \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$). Получаем неравенство $t^2 - 3t - 7 \ge 0$. Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 7 = 0$ через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(-7) = 9 + 28 = 37$. Корни: $t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$. Так как $t=\sqrt{x} \ge 0$, нас интересует только положительный корень и области вне корней. Неравенство $t^2 - 3t - 7 \ge 0$ выполняется при $t \ge \frac{3+\sqrt{37}}{2}$ (так как $t \ge 0$). Значит $\sqrt{x} \ge \frac{3+\sqrt{37}}{2}$, откуда $x \ge \left(\frac{3+\sqrt{37}}{2}\right)^2 = \frac{9+6\sqrt{37}+37}{4} = \frac{46+6\sqrt{37}}{4} = \frac{23+3\sqrt{37}}{2}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{23+3\sqrt{37}}{2}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3\sqrt{x}-7})^2 = (\sqrt{x+3})^2$
$x-3\sqrt{x}-7 = x+3$
$-3\sqrt{x} = 3+7$
$-3\sqrt{x} = 10$
$\sqrt{x} = -\frac{10}{3}$
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
Ответ: решений нет.

в) Решим уравнение $\frac{\sqrt{7x-21}}{\sqrt{x+2}} = \frac{\sqrt{5x-17}}{2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1) $7x-21 \ge 0 \implies 7x \ge 21 \implies x \ge 3$
2) $x+2 > 0 \implies x > -2$ (знаменатель не может быть равен нулю)
3) $5x-17 \ge 0 \implies 5x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{5} \implies x \ge 3.4$
Пересечение всех условий ($x \ge 3$, $x > -2$, $x \ge 3.4$) дает нам ОДЗ: $x \ge 3.4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$\frac{7x-21}{x+2} = \frac{5x-17}{4}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$4(7x-21) = (x+2)(5x-17)$
$28x - 84 = 5x^2 - 17x + 10x - 34$
$28x - 84 = 5x^2 - 7x - 34$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$5x^2 - 7x - 28x - 34 + 84 = 0$
$5x^2 - 35x + 50 = 0$
Разделим обе части на 5 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3.4$):
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 3.4$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 \ge 3.4$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 5.

г) Решим уравнение $\frac{\sqrt{3x-7}}{\sqrt{x+3}} = \sqrt{3-4x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых все выражения под корнем неотрицательны, а знаменатель не равен нулю.
1) $3x-7 \ge 0 \implies 3x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{3}$
2) $x+3 > 0 \implies x > -3$
3) $3-4x \ge 0 \implies 3 \ge 4x \implies x \le \frac{3}{4}$
Для существования решения необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных множеств:
$x \ge \frac{7}{3}$ и $x \le \frac{3}{4}$.
Так как $\frac{7}{3} \approx 2.67$, а $\frac{3}{4} = 0.75$, то неравенство $\frac{7}{3} \le x \le \frac{3}{4}$ не может выполняться ни для какого действительного числа $x$, поскольку $\frac{7}{3} > \frac{3}{4}$.
Область допустимых значений является пустым множеством. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

8.38* а) $lg 2x - lg (x + 4) = lg 0,4;$

б) $lg(x - 4) + lg(x - 6) = lg 8;$

В) $lg(x + 5) + lg(x - 4) = lg(x + 16);$

Г) $lg(x - 3) + lg(x + 4) = lg(7x - 20).$

а) $lg 2x - lg(x + 4) = lg 0,4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Используем свойство разности логарифмов $lg a - lg b = lg(a/b)$:
$lg \frac{2x}{x + 4} = lg 0,4$

3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$\frac{2x}{x + 4} = 0,4$

4. Решаем полученное уравнение:
$2x = 0,4(x + 4)$
$2x = 0,4x + 1,6$
$2x - 0,4x = 1,6$
$1,6x = 1,6$
$x = 1$

5. Проверяем, принадлежит ли корень ОДЗ. $1 > 0$, следовательно, корень подходит.
Ответ: 1

б) $lg(x - 4) + lg(x - 6) = lg 8$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x - 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 6 \end{cases} \Rightarrow x > 6$.
ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $lg a + lg b = lg(ab)$:
$lg((x - 4)(x - 6)) = lg 8$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x - 4)(x - 6) = 8$

4. Решаем полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 4x + 24 = 8$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 6$):
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 6$, это посторонний корень.
$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 6$.
Ответ: 8

в) $lg(x + 5) + lg(x - 4) = lg(x + 16)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 5 > 0 \\ x - 4 > 0 \\ x + 16 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -5 \\ x > 4 \\ x > -16 \end{cases} \Rightarrow x > 4$.
ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов:
$lg((x + 5)(x - 4)) = lg(x + 16)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x + 5)(x - 4) = x + 16$

4. Решаем полученное уравнение:
$x^2 - 4x + 5x - 20 = x + 16$
$x^2 + x - 20 = x + 16$
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 4$.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $-6 > 4$, это посторонний корень.
Ответ: 6

г) $lg(x - 3) + lg(x + 4) = lg(7x - 20)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 4 > 0 \\ 7x - 20 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > -4 \\ x > 20/7 \end{cases} \Rightarrow x > 3$.
(Так как $20/7 \approx 2,86$, то самое строгое условие — $x>3$).
ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения:
$lg((x - 3)(x + 4)) = lg(7x - 20)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x - 3)(x + 4) = 7x - 20$

4. Решаем полученное уравнение:
$x^2 + 4x - 3x - 12 = 7x - 20$
$x^2 + x - 12 = 7x - 20$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

5. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 3$, это посторонний корень.
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.
Ответ: 4

8.39* а) $\log_3 \sqrt{x} + \log_3 \sqrt{x + 8} = 1;$

б) $\log_2 \sqrt{x + 3} + \log_2 \sqrt{x + 6} = 1;$

в) $\log_3 \sqrt{x + 4} + \log_3 \sqrt{x - 4} = 1;$

г) $\log_4 \sqrt{x + 3} + \log_4 \sqrt{x - 3} = 1.$

а) $\log_3 \sqrt{x} + \log_3 \sqrt{x+8} = 1$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x} > 0 \\ \sqrt{x+8} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x+8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -8 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_3(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+8}) = 1$
$\log_3\sqrt{x(x+8)} = 1$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.
$\sqrt{x^2 + 8x} = 3^1$
$\sqrt{x^2 + 8x} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 8x = 9$
$x^2 + 8x - 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$.
Корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-9$ не больше $0$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $1$.

б) $\log_2 \sqrt{x+3} + \log_2 \sqrt{x+6} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+3} > 0 \\ \sqrt{x+6} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+3 > 0 \\ x+6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -6 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > -3$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_2(\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x+6}) = 1$
$\log_2\sqrt{(x+3)(x+6)} = 1$
$\log_2\sqrt{x^2+9x+18} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2+9x+18} = 2^1$
$\sqrt{x^2+9x+18} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2+9x+18 = 4$
$x^2+9x+14 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$).
Корень $x_1 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 > -3$.
Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-7$ не больше $-3$.
Следовательно, решением является только один корень.
Ответ: $-2$.

в) $\log_3 \sqrt{x+4} + \log_3 \sqrt{x-4} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+4} > 0 \\ \sqrt{x-4} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+4 > 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -4 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 4$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3(\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{x-4}) = 1$
$\log_3\sqrt{(x+4)(x-4)} = 1$
$\log_3\sqrt{x^2-16} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2-16} = 3^1$
$\sqrt{x^2-16} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2-16 = 9$
$x^2 = 25$
Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 4$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-5$ не больше $4$.
Следовательно, у уравнения один корень.
Ответ: $5$.

г) $\log_4 \sqrt{x+3} + \log_4 \sqrt{x-3} = 1$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} \sqrt{x+3} > 0 \\ \sqrt{x-3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+3 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 3 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 3$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_4(\sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3}) = 1$
$\log_4\sqrt{(x+3)(x-3)} = 1$
$\log_4\sqrt{x^2-9} = 1$
По определению логарифма:
$\sqrt{x^2-9} = 4^1$
$\sqrt{x^2-9} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2-9 = 16$
$x^2 = 25$
Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 3$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-5$ не больше $3$.
Следовательно, решением является только один корень.
Ответ: $5$.

8.40* a) $ \log_2(x + 1) = \log_4(5x + 1); $

б) $ \log_3(x - 2) = \log_9(3x - 6). $

Исходное уравнение: $\log_2(x+1) = \log_4(5x+1)$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмических функций должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ 5x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ 5x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.2 \end{cases}$.

Пересечением этих двух условий является $x > -0.2$. Это и есть ОДЗ для нашего уравнения.

Далее, чтобы решить уравнение, необходимо привести логарифмы к одному основанию. Удобнее всего привести логарифм с основанием 4 к основанию 2, так как $4 = 2^2$. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$.

Применим эту формулу к правой части уравнения:

$\log_4(5x+1) = \log_{2^2}(5x+1) = \frac{1}{2}\log_2(5x+1)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_2(x+1) = \frac{1}{2}\log_2(5x+1)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2\log_2(x+1) = \log_2(5x+1)$.

Используем свойство степени логарифма $k\log_a(b) = \log_a(b^k)$ для левой части:

$\log_2((x+1)^2) = \log_2(5x+1)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x+1)^2 = 5x+1$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 1 = 5x + 1$

$x^2 + 2x - 5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -0.2$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -0.2$.

Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию $3 > -0.2$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 3$.

Исходное уравнение: $\log_3(x-2) = \log_9(3x-6)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ 3x-6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ 3x > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 2 \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x > 2$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$. Используем формулу $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:

$\log_9(3x-6) = \log_{3^2}(3x-6) = \frac{1}{2}\log_3(3x-6)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_3(x-2) = \frac{1}{2}\log_3(3x-6)$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$2\log_3(x-2) = \log_3(3x-6)$.

Применим свойство степени логарифма $k\log_a(b) = \log_a(b^k)$:

$\log_3((x-2)^2) = \log_3(3x-6)$.

Теперь, когда основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x-2)^2 = 3x-6$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 3x - 6$

$x^2 - 4x - 3x + 4 + 6 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет строгому неравенству $x > 2$, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 2$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $5$.

8.41* a) $\sqrt{\log_2 (x + 2) + \log_2 (x + 1)} = \sqrt{\log_2 (x - 2) + \log_2 (2x - 1)};$

б) $\sqrt{\log_3 (2x - 1) + \log_3 (x - 4)} = \sqrt{2 \log_3 (x - 2)};$

в) $\sqrt{\log_2 \sin x + 2} = \sqrt{1 - \log_2 \cos x};$

г) $\sqrt{\log_2 (-\cos x) + 3} = \sqrt{2 - \log_2 (-\sin x)}.$

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2(x+2) + \log_2(x+1)} = \sqrt{\log_2(x-2) + \log_2(2x-1)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$x+2 > 0 \implies x > -2$

$x+1 > 0 \implies x > -1$

$x-2 > 0 \implies x > 2$

$2x-1 > 0 \implies x > 1/2$

Объединяя эти условия, получаем $x > 2$.

Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\log_2(x+2) + \log_2(x+1) \ge 0 \implies \log_2((x+2)(x+1)) \ge 0 \implies (x+2)(x+1) \ge 1 \implies x^2+3x+2 \ge 1 \implies x^2+3x+1 \ge 0$. Корни уравнения $x^2+3x+1=0$ равны $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Неравенство выполняется при $x \ge \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ или $x \le \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$. Учитывая $x>2$, это условие выполняется.

$\log_2(x-2) + \log_2(2x-1) \ge 0 \implies \log_2((x-2)(2x-1)) \ge 0 \implies (x-2)(2x-1) \ge 1 \implies 2x^2-5x+2 \ge 1 \implies 2x^2-5x+1 \ge 0$. Корни уравнения $2x^2-5x+1=0$ равны $x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$. Неравенство выполняется при $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$ или $x \le \frac{5-\sqrt{17}}{4}$. Учитывая $x>2$, получаем $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$ (т.к. $\frac{5+\sqrt{17}}{4} \approx 2.28 > 2$).

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2(x+2) + \log_2(x+1) = \log_2(x-2) + \log_2(2x-1)$

Используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2((x+2)(x+1)) = \log_2((x-2)(2x-1))$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x+2)(x+1) = (x-2)(2x-1)$

$x^2+3x+2 = 2x^2-5x+2$

$x^2-8x = 0$

$x(x-8) = 0$

Получаем корни $x=0$ и $x=8$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

$x=0$ не удовлетворяет условию $x > 2$.

$x=8$ удовлетворяет условию $x \ge \frac{5+\sqrt{17}}{4}$, так как $8 > \frac{5+5}{4}=2.5$.

Ответ: $x=8$

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_3(2x-1) + \log_3(x-4)} = \sqrt{2\log_3(x-2)}$

1. Найдем ОДЗ.

$2x-1 > 0 \implies x > 1/2$

$x-4 > 0 \implies x > 4$

$x-2 > 0 \implies x > 2$

Объединяя, получаем $x > 4$.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\log_3(2x-1) + \log_3(x-4) \ge 0 \implies \log_3((2x-1)(x-4)) \ge 0 \implies (2x-1)(x-4) \ge 1 \implies 2x^2-9x+3 \ge 0$. Корни $x = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{4}$. Учитывая $x>4$, получаем $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$ (т.к. $\frac{9+\sqrt{57}}{4} \approx 4.14 > 4$).

$2\log_3(x-2) \ge 0 \implies \log_3(x-2) \ge 0 \implies x-2 \ge 1 \implies x \ge 3$.

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_3(2x-1) + \log_3(x-4) = 2\log_3(x-2)$

Используя свойства логарифмов:

$\log_3((2x-1)(x-4)) = \log_3((x-2)^2)$

$(2x-1)(x-4) = (x-2)^2$

$2x^2-9x+4 = x^2-4x+4$

$x^2-5x = 0$

$x(x-5) = 0$

Корни: $x=0$ и $x=5$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

$x=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x=5$ удовлетворяет условию $x \ge \frac{9+\sqrt{57}}{4}$, так как $5 > 4.14$.

Ответ: $x=5$

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2 \sin x + 2} = \sqrt{1 - \log_2 \cos x}$

1. Найдем ОДЗ.

$\sin x > 0$ и $\cos x > 0 \implies x$ в I четверти ($2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

$\log_2 \sin x + 2 \ge 0 \implies \log_2 \sin x \ge -2 \implies \sin x \ge 2^{-2} \implies \sin x \ge \frac{1}{4}$.

$1 - \log_2 \cos x \ge 0 \implies 1 \ge \log_2 \cos x \implies 2 \ge \cos x$, что всегда верно при $\cos x > 0$.

Итоговая ОДЗ: $\sin x \ge \frac{1}{4}$ и $\cos x > 0$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2 \sin x + 2 = 1 - \log_2 \cos x$

$\log_2 \sin x + \log_2 \cos x = -1$

$\log_2(\sin x \cos x) = -1$

$\sin x \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Используем формулу двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2} \implies \sin(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

При $k=2n$ (четное): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверка: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > \frac{1}{4}=0.25$ (верно), $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ (верно).

Эти корни подходят.

При $k=2n+1$ (нечетное): $x = \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$, что не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{\log_2(-\cos x) + 3} = \sqrt{2 - \log_2(-\sin x)}$

1. Найдем ОДЗ.

$-\cos x > 0 \implies \cos x < 0$

$-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$

Следовательно, $x$ в III четверти ($\pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

$\log_2(-\cos x) + 3 \ge 0 \implies \log_2(-\cos x) \ge -3 \implies -\cos x \ge 2^{-3} \implies \cos x \le -\frac{1}{8}$.

$2 - \log_2(-\sin x) \ge 0 \implies 2 \ge \log_2(-\sin x) \implies 4 \ge -\sin x$, что всегда верно.

Итоговая ОДЗ: $\cos x \le -\frac{1}{8}$ и $\sin x < 0$.

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$\log_2(-\cos x) + 3 = 2 - \log_2(-\sin x)$

$\log_2(-\cos x) + \log_2(-\sin x) = -1$

$\log_2((-\cos x)(-\sin x)) = -1$

$\log_2(\sin x \cos x) = -1$

$\sin x \cos x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2} \implies \sin(2x) = 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3. Проверим корни по ОДЗ.

При $k=2n$ (четное): $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. $\cos x > 0$, не удовлетворяет ОДЗ.

При $k=2n+1$ (нечетное): $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверка: $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 \le -\frac{1}{8}=-0.125$ (верно), $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ (верно).

Эти корни подходят.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$