Номер 8.40, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.40, страница 239.

Условие.

8.40* a) $ \log_2(x + 1) = \log_4(5x + 1); $

б) $ \log_3(x - 2) = \log_9(3x - 6). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\log_2(x+1) = \log_4(5x+1)$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмических функций должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$\begin{cases} x+1 > 0 \\ 5x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ 5x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.2 \end{cases}$.

Пересечением этих двух условий является $x > -0.2$. Это и есть ОДЗ для нашего уравнения.

Далее, чтобы решить уравнение, необходимо привести логарифмы к одному основанию. Удобнее всего привести логарифм с основанием 4 к основанию 2, так как $4 = 2^2$. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$.

Применим эту формулу к правой части уравнения:

$\log_4(5x+1) = \log_{2^2}(5x+1) = \frac{1}{2}\log_2(5x+1)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_2(x+1) = \frac{1}{2}\log_2(5x+1)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2\log_2(x+1) = \log_2(5x+1)$.

Используем свойство степени логарифма $k\log_a(b) = \log_a(b^k)$ для левой части:

$\log_2((x+1)^2) = \log_2(5x+1)$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x+1)^2 = 5x+1$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 1 = 5x + 1$

$x^2 + 2x - 5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -0.2$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -0.2$.

Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию $3 > -0.2$.

Оба корня подходят.

Ответ: $0; 3$.

б)

Исходное уравнение: $\log_3(x-2) = \log_9(3x-6)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ 3x-6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ 3x > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 2 \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x > 2$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$. Используем формулу $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$:

$\log_9(3x-6) = \log_{3^2}(3x-6) = \frac{1}{2}\log_3(3x-6)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_3(x-2) = \frac{1}{2}\log_3(3x-6)$.

Умножим обе части уравнения на 2:

$2\log_3(x-2) = \log_3(3x-6)$.

Применим свойство степени логарифма $k\log_a(b) = \log_a(b^k)$:

$\log_3((x-2)^2) = \log_3(3x-6)$.

Теперь, когда основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x-2)^2 = 3x-6$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 3x - 6$

$x^2 - 4x - 3x + 4 + 6 = 0$

$x^2 - 7x + 10 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$).

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет строгому неравенству $x > 2$, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 2$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $5$.