Номер 9.4, страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.4, страница 243.

Условие.

9.4°

a) В каком случае говорят, что дана совокупность нескольких систем?

б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем?

в) Как записывают равносильность уравнения (неравенства) системе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) О совокупности нескольких систем говорят в том случае, когда необходимо найти все значения переменных, которые являются решением хотя бы одной из этих систем. Это означает, что искомые значения должны удовлетворять или первой системе, или второй, или какой-либо другой из перечисленных. Решение совокупности систем является объединением множеств решений всех систем, входящих в нее.
Ответ: Говорят, что дана совокупность нескольких систем, если требуется найти все значения переменных, удовлетворяющие хотя бы одной из этих систем.

б) Уравнение (или неравенство) называют равносильным совокупности нескольких систем, если множество всех решений этого уравнения (неравенства) в точности совпадает с множеством решений данной совокупности. Поскольку решением совокупности систем является объединение множеств решений всех входящих в нее систем, то для равносильности необходимо, чтобы множество решений исходного уравнения (неравенства) было равно этому объединению.
Ответ: Уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем, если множество его решений совпадает с объединением множеств решений всех систем, входящих в совокупность.

в) Равносильность уравнения (или неравенства) и системы записывают с помощью знака равносильности (эквивалентности) $ \Leftrightarrow $. Этот знак ставится между исходным уравнением (неравенством) и системой. Система уравнений и/или неравенств записывается с помощью фигурной скобки $ \left\{ \right. $, которая означает, что все условия внутри нее должны выполняться одновременно (логическое «И»).
Например, равносильный переход для иррационального уравнения записывается следующим образом:
$ \sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $
Эта запись означает, что исходное уравнение и система имеют одно и то же множество решений.
Ответ: Равносильность уравнения (неравенства) системе записывают с помощью знака эквивалентности $ \Leftrightarrow $, который ставится между уравнением (неравенством) и системой, записанной с помощью фигурной скобки.