Номер 9.10, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.10, страница 246.

Условие.

9.10 а) $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{-2x};$

В) $\sqrt{x^2 - 7} = \sqrt{-2x - 6};$

б) $\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x + 1};$

Г) $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{1 - x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{-2x}$.
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность подкоренных выражений.
$\begin{cases} x^2 - 1 = -2x, \\ -2x \ge 0. \end{cases}$
Из второго неравенства системы найдем область допустимых значений (ОДЗ). Также учтем, что и первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
1) $-2x \ge 0 \implies x \le 0$.
2) $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \le -1$.
Теперь решим уравнение системы:
$x^2 - 1 = -2x$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le -1$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx -1 + 1.414 = 0.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $0.414 > -1$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-2.414 \le -1$.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}$.

б) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x + 1}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 3x = x + 1, \\ x + 1 \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств для подкоренных выражений:
1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $x^2 + 3x \ge 0 \implies x(x+3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$.
Пересечение этих условий ($x \ge -1$ и $x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$) дает ОДЗ: $x \ge 0$.
Решим уравнение системы:
$x^2 + 3x = x + 1$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения (как и в пункте а)): $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $0.414 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-2.414 < 0$.
Таким образом, решением является только один корень.
Ответ: $-1 + \sqrt{2}$.

в) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 7} = \sqrt{-2x - 6}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 7 = -2x - 6, \\ -2x - 6 \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:
1) $-2x - 6 \ge 0 \implies -2x \ge 6 \implies x \le -3$.
2) $x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 7 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.
Поскольку $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $-\sqrt{7} \approx -2.65$. Условие $x \le -3$ является более строгим, чем $x \le -\sqrt{7}$, поэтому ОДЗ: $x \le -3$.
Решим уравнение системы:
$x^2 - 7 = -2x - 6$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le -3$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $0.414 > -3$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень также не входит в ОДЗ, так как $-2.414 > -3$.
Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

г) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{1 - x}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x = 1 - x, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:
1) $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
2) $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
Пересечение этих условий ($x \le 1$ и $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$) дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.
Решим уравнение системы:
$x^2 + x = 1 - x$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $0 \le 0.414 \le 1$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень также входит в ОДЗ, так как $-2.414 \le -1$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}$.