Номер 9.17, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.17, страница 251.

Условие.

9.17 a) $(x^2 - 7x + 12) \log_{31} (x + 5) = 0;$

б) $(x^2 + 3x - 4) \log_{32} (3\dot{x} + 7) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(x^2 - 7x + 12) \log_{31}(x + 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 5 > 0$
$x > -5$
Теперь рассмотрим два случая, при которых произведение равно нулю:
1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ ($x > -5$):
Для $x_1 = 3$: $3 > -5$. Корень подходит.
Для $x_2 = 4$: $4 > -5$. Корень подходит.
2) Второй множитель равен нулю:
$\log_{31}(x + 5) = 0$
По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:
$x + 5 = 31^0$
$x + 5 = 1$
$x = 1 - 5$
$x_3 = -4$
Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ ($x > -5$):
Для $x_3 = -4$: $-4 > -5$. Корень подходит.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-4; 3; 4$.

б) $(x^2 + 3x - 4) \log_{32}(3x + 7) = 0$

Это уравнение также представляет собой произведение двух множителей, равное нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргумент логарифма должен быть положительным:
$3x + 7 > 0$
$3x > -7$
$x > -\frac{7}{3}$
Рассмотрим два случая:
1) Первый множитель равен нулю:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\frac{7}{3}$):
Для $x_1 = 1$: $1 > -\frac{7}{3}$. Корень подходит.
Для $x_2 = -4$: $-4 < -\frac{7}{3}$ (так как $-4 = -\frac{12}{3}$). Корень не подходит, так как не входит в ОДЗ.
2) Второй множитель равен нулю:
$\log_{32}(3x + 7) = 0$
По определению логарифма:
$3x + 7 = 32^0$
$3x + 7 = 1$
$3x = -6$
$x_3 = -2$
Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x > -\frac{7}{3}$):
Для $x_3 = -2$: $-2 > -\frac{7}{3}$ (так как $-2 = -\frac{6}{3}$). Корень подходит.
Следовательно, решениями уравнения являются $x=1$ и $x=-2$.
Ответ: $-2; 1$.