Номер 9.24, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.24, страница 252.
№9.24 (с. 252)
Условие. №9.24 (с. 252)
скриншот условия

9.24* Докажите, что равносильны уравнение и система:
a) $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x) \cdot g(x))$ и $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0, \end{cases}$ где $a>0, a \neq 1$.
б) $\log_{g(x)} f(x) = \log_{g(x)} \varphi(x)$ и $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ g(x)>0 \\ g(x) \neq 1. \end{cases}$
Решение 1. №9.24 (с. 252)


Решение 2. №9.24 (с. 252)

Решение 4. №9.24 (с. 252)
a)
Чтобы доказать, что уравнение $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$ и система $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Два уравнения (или уравнение и система) называются равносильными, если множества их решений равны.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$.
ОДЗ определяется следующими условиями:
- Для левой части $log_a f(x) + log_a g(x)$: аргументы логарифмов должны быть строго положительными, то есть $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
- Для правой части $log_a (f(x) \cdot g(x))$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) \cdot g(x) > 0$. Это выполняется, когда $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
ОДЗ всего уравнения является пересечением ОДЗ его левой и правой частей. Следовательно, все условия должны выполняться одновременно. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ являются более строгими, так как из них автоматически следует, что $f(x) \cdot g(x) > 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения задается системой:
$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$
2. Решим уравнение на его ОДЗ.
На множестве, где $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$, основное свойство логарифма $log_a M + log_a N = log_a(M \cdot N)$ является тождеством. Это означает, что исходное уравнение превращается в верное равенство для любого значения $x$ из его ОДЗ.
3. Сделаем вывод.
Множество решений уравнения — это все значения $x$, которые принадлежат его ОДЗ. Как мы установили, ОДЗ уравнения — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$.
Множество решений системы $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ по определению является множеством всех $x$, удовлетворяющих этой системе.
Поскольку множества решений уравнения и системы совпадают, они равносильны.
Ответ: Что и требовалось доказать.
б)
Чтобы доказать, что уравнение $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$ и система $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$ равносильны, покажем, что их множества решений совпадают.
1. Найдем ОДЗ уравнения $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$.
Для существования логарифмов в уравнении должны выполняться следующие условия:
- Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$.
- Основание логарифма $g(x)$ должно быть строго положительным и не равным единице: $g(x) > 0$ и $g(x) \neq 1$.
Следовательно, ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
$\begin{cases} f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$
2. Решим уравнение на его ОДЗ.
На множестве значений $x$, удовлетворяющих ОДЗ, логарифмическая функция является монотонной. Поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием равносильно равенству их аргументов:
$f(x) = \varphi(x)$
Таким образом, решение исходного уравнения должно удовлетворять как уравнению $f(x) = \varphi(x)$, так и всем условиям ОДЗ.
3. Сделаем вывод.
Множество решений уравнения — это множество всех $x$, для которых одновременно выполняются условия ОДЗ и полученное из уравнения равенство. Объединив их, получаем систему:
$\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$
Это в точности та система, которая дана в условии задачи. Следовательно, множества решений уравнения и системы совпадают, а значит, они равносильны.
Замечание: В данной системе условия $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$ являются избыточными при наличии уравнения $f(x) = \varphi(x)$. Достаточно было бы оставить только одно из них, например $f(x) > 0$, так как из него и равенства $f(x) = \varphi(x)$ автоматически следует, что $\varphi(x) > 0$. Тем не менее, представленная в задаче система равносильна уравнению.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.24 расположенного на странице 252 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.24 (с. 252), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.