Номер 9.24, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.24, страница 252.

Условие.

9.24* Докажите, что равносильны уравнение и система:

a) $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x) \cdot g(x))$ и $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0, \end{cases}$ где $a>0, a \neq 1$.

б) $\log_{g(x)} f(x) = \log_{g(x)} \varphi(x)$ и $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ g(x)>0 \\ g(x) \neq 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Чтобы доказать, что уравнение $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$ и система $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Два уравнения (или уравнение и система) называются равносильными, если множества их решений равны.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x) \cdot g(x))$.

ОДЗ определяется следующими условиями:

• Для левой части $log_a f(x) + log_a g(x)$: аргументы логарифмов должны быть строго положительными, то есть $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
• Для правой части $log_a (f(x) \cdot g(x))$: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) \cdot g(x) > 0$. Это выполняется, когда $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).

ОДЗ всего уравнения является пересечением ОДЗ его левой и правой частей. Следовательно, все условия должны выполняться одновременно. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ являются более строгими, так как из них автоматически следует, что $f(x) \cdot g(x) > 0$. Таким образом, ОДЗ уравнения задается системой:

$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

2. Решим уравнение на его ОДЗ.

На множестве, где $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$, основное свойство логарифма $log_a M + log_a N = log_a(M \cdot N)$ является тождеством. Это означает, что исходное уравнение превращается в верное равенство для любого значения $x$ из его ОДЗ.

3. Сделаем вывод.

Множество решений уравнения — это все значения $x$, которые принадлежат его ОДЗ. Как мы установили, ОДЗ уравнения — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$.

Множество решений системы $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ по определению является множеством всех $x$, удовлетворяющих этой системе.

Поскольку множества решений уравнения и системы совпадают, они равносильны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что уравнение $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$ и система $\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$ равносильны, покажем, что их множества решений совпадают.

1. Найдем ОДЗ уравнения $log_{g(x)} f(x) = log_{g(x)} \varphi(x)$.

Для существования логарифмов в уравнении должны выполняться следующие условия:

• Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$.
• Основание логарифма $g(x)$ должно быть строго положительным и не равным единице: $g(x) > 0$ и $g(x) \neq 1$.

Следовательно, ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:

$\begin{cases} f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

2. Решим уравнение на его ОДЗ.

На множестве значений $x$, удовлетворяющих ОДЗ, логарифмическая функция является монотонной. Поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием равносильно равенству их аргументов:

$f(x) = \varphi(x)$

Таким образом, решение исходного уравнения должно удовлетворять как уравнению $f(x) = \varphi(x)$, так и всем условиям ОДЗ.

3. Сделаем вывод.

Множество решений уравнения — это множество всех $x$, для которых одновременно выполняются условия ОДЗ и полученное из уравнения равенство. Объединив их, получаем систему:

$\begin{cases} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

Это в точности та система, которая дана в условии задачи. Следовательно, множества решений уравнения и системы совпадают, а значит, они равносильны.

Замечание: В данной системе условия $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$ являются избыточными при наличии уравнения $f(x) = \varphi(x)$. Достаточно было бы оставить только одно из них, например $f(x) > 0$, так как из него и равенства $f(x) = \varphi(x)$ автоматически следует, что $\varphi(x) > 0$. Тем не менее, представленная в задаче система равносильна уравнению.

Ответ: Что и требовалось доказать.