Номер 9.31, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.31, страница 253.

Условие.

9.31* а) $log_{1-x} (7x^2 + 2) = log_{1-x} 30;$

Б) $log_{2-x} (3x^2 - 1) = log_{2-x} 74;$

В) $log_{3-x} (4x^2 - 5) = log_{3-x} 59;$

Г) $log_{4-x} (2x^2 + 3) = log_{4-x} 75.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим уравнение $\log_{1-x}(7x^2+2) = \log_{1-x}30$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $1-x > 0 \implies x < 1$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $7x^2+2 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $7x^2+2 \ge 2 > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению, в котором приравнены выражения под знаком логарифма:

$$ 7x^2+2 = 30 $$

Решаем полученное квадратное уравнение:

$$ 7x^2 = 28 $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 1$.
• Корень $x = -2$ входит в ОДЗ, так как $-2 < 1$ и $-2 \neq 0$.

Следовательно, единственным решением является $x = -2$.

Ответ: $-2$.

б)

Решим уравнение $\log_{2-x}(3x^2-1) = \log_{2-x}74$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $2-x > 0 \implies x < 2$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $2-x \neq 1 \implies x \neq 1$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $3x^2-1 > 0 \implies 3x^2 > 1 \implies x^2 > \frac{1}{3} \implies x \in (-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}; +\infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{3}}; 1) \cup (1; 2)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

$$ 3x^2-1 = 74 $$

Решаем его:

$$ 3x^2 = 75 $$ $$ x^2 = 25 $$ $$ x_1 = 5, \quad x_2 = -5 $$

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 5$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 2$.
• Корень $x = -5$ входит в ОДЗ, так как $-5 < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ (поскольку $-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577$).

Следовательно, решением является $x = -5$.

Ответ: $-5$.

в)

Решим уравнение $\log_{3-x}(4x^2-5) = \log_{3-x}59$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $3-x > 0 \implies x < 3$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $4x^2-5 > 0 \implies 4x^2 > 5 \implies x^2 > \frac{5}{4} \implies x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}; 2) \cup (2; 3)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

$$ 4x^2-5 = 59 $$

Решаем его:

$$ 4x^2 = 64 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -4 $$

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 4$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 3$.
• Корень $x = -4$ входит в ОДЗ, так как $-4 < -\frac{\sqrt{5}}{2}$ (поскольку $-\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -1.118$).

Следовательно, решением является $x = -4$.

Ответ: $-4$.

г)

Решим уравнение $\log_{4-x}(2x^2+3) = \log_{4-x}75$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

• Основание логарифма должно быть положительным: $4-x > 0 \implies x < 4$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $4-x \neq 1 \implies x \neq 3$.
• Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $2x^2+3 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $2x^2+3 \ge 3 > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; 4)$.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

$$ 2x^2+3 = 75 $$

Решаем его:

$$ 2x^2 = 72 $$ $$ x^2 = 36 $$ $$ x_1 = 6, \quad x_2 = -6 $$

Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ:

• Корень $x = 6$ не входит в ОДЗ, так как не выполняется условие $x < 4$.
• Корень $x = -6$ входит в ОДЗ, так как $-6 < 4$ и $-6 \neq 3$.

Следовательно, решением является $x = -6$.

Ответ: $-6$.