Номер 9.34, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.34, страница 253.

Условие.

9.34* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2-a^2}$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2 - a^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq a$ и $x \neq -a$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ и преобразуем его, учитывая ОДЗ:
$x(x+a) + 1(x-a) = 2$
$x^2 + ax + x - a = 2$
$x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в двух случаях: либо полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, который удовлетворяет ОДЗ, либо оно имеет два различных корня, но только один из них удовлетворяет ОДЗ.

1. Квадратное уравнение имеет один корень.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a+2)) = a^2 + 2a + 1 + 4a + 8 = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.Приравниваем дискриминант к нулю:$(a+3)^2 = 0 \implies a = -3$.

При $a=-3$ квадратное уравнение имеет единственный корень:$x = \frac{-(a+1)}{2 \cdot 1} = \frac{-(-3+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ при $a=-3$. ОДЗ в этом случае: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.Поскольку $1 \neq -3$ и $1 \neq 3$, корень $x=1$ является действительным решением.Таким образом, при $a=-3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них является решением.

Это происходит, когда $D > 0$, то есть $(a+3)^2 > 0$, что выполняется для всех $a \neq -3$.В этом случае один из корней должен быть посторонним, то есть совпадать со значением $a$ или $-a$.

а) Один из корней равен $a$.
Подставим $x=a$ в квадратное уравнение $x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$:
$a^2 + (a+1)a - (a+2) = 0$
$a^2 + a^2 + a - a - 2 = 0$
$2a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a=1$ или $a=-1$.

Проверим эти значения:

• При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x - 3 = 0$. Его корни $x_1=-3$ и $x_2=1$. ОДЗ при $a=1$: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Корень $x_2=1$ является посторонним ($x_2=a$). Корень $x_1=-3$ удовлетворяет ОДЗ ($-3 \neq 1$ и $-3 \neq -1$). Следовательно, при $a=1$ есть единственный корень.
• При $a=-1$ уравнение принимает вид $x^2 - 1 = 0$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-1$. ОДЗ при $a=-1$: $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Оба корня являются посторонними ($x_1=-a$, $x_2=a$), поэтому решений нет.

б) Один из корней равен $-a$.
Подставим $x=-a$ в квадратное уравнение:
$(-a)^2 + (a+1)(-a) - (a+2) = 0$
$a^2 - a^2 - a - a - 2 = 0$
$-2a - 2 = 0 \implies a=-1$.Этот случай уже рассмотрен выше, он не дает решений.

Объединяя все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=-3$ и $a=1$.

Ответ: $a = -3, a = 1$.