Номер 9.34, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.34, страница 253.

№9.34 (с. 253)
Условие. №9.34 (с. 253)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 253, номер 9.34, Условие

9.34* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2-a^2}$ имеет единственный корень?

Решение 1. №9.34 (с. 253)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 253, номер 9.34, Решение 1
Решение 2. №9.34 (с. 253)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 253, номер 9.34, Решение 2
Решение 3. №9.34 (с. 253)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 253, номер 9.34, Решение 3 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 253, номер 9.34, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №9.34 (с. 253)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} = \frac{2}{x^2 - a^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq a$ и $x \neq -a$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ и преобразуем его, учитывая ОДЗ:
$x(x+a) + 1(x-a) = 2$
$x^2 + ax + x - a = 2$
$x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в двух случаях: либо полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, который удовлетворяет ОДЗ, либо оно имеет два различных корня, но только один из них удовлетворяет ОДЗ.

1. Квадратное уравнение имеет один корень.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ равен нулю.$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a+2)) = a^2 + 2a + 1 + 4a + 8 = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.Приравниваем дискриминант к нулю:$(a+3)^2 = 0 \implies a = -3$.

При $a=-3$ квадратное уравнение имеет единственный корень:$x = \frac{-(a+1)}{2 \cdot 1} = \frac{-(-3+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ при $a=-3$. ОДЗ в этом случае: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.Поскольку $1 \neq -3$ и $1 \neq 3$, корень $x=1$ является действительным решением.Таким образом, при $a=-3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них является решением.

Это происходит, когда $D > 0$, то есть $(a+3)^2 > 0$, что выполняется для всех $a \neq -3$.В этом случае один из корней должен быть посторонним, то есть совпадать со значением $a$ или $-a$.

а) Один из корней равен $a$.
Подставим $x=a$ в квадратное уравнение $x^2 + (a+1)x - (a+2) = 0$:
$a^2 + (a+1)a - (a+2) = 0$
$a^2 + a^2 + a - a - 2 = 0$
$2a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a=1$ или $a=-1$.

Проверим эти значения:

  • При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x - 3 = 0$. Его корни $x_1=-3$ и $x_2=1$. ОДЗ при $a=1$: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Корень $x_2=1$ является посторонним ($x_2=a$). Корень $x_1=-3$ удовлетворяет ОДЗ ($-3 \neq 1$ и $-3 \neq -1$). Следовательно, при $a=1$ есть единственный корень.
  • При $a=-1$ уравнение принимает вид $x^2 - 1 = 0$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-1$. ОДЗ при $a=-1$: $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Оба корня являются посторонними ($x_1=-a$, $x_2=a$), поэтому решений нет.

б) Один из корней равен $-a$.
Подставим $x=-a$ в квадратное уравнение:
$(-a)^2 + (a+1)(-a) - (a+2) = 0$
$a^2 - a^2 - a - a - 2 = 0$
$-2a - 2 = 0 \implies a=-1$.Этот случай уже рассмотрен выше, он не дает решений.

Объединяя все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=-3$ и $a=1$.

Ответ: $a = -3, a = 1$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.34 расположенного на странице 253 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.34 (с. 253), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.