Номер 9.41, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.41, страница 256.

Условие.

9.41* a) $\sqrt{x^2+4} + \sqrt[4]{x^2+5} + \sqrt[6]{x^2+6} = \sqrt{4x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{4x+2};$

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt[4]{2x+3} + \sqrt[6]{3x+7} = \sqrt{2x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{6x+4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt[4]{x^2 + 5} + \sqrt[6]{x^2 + 6} = \sqrt{4x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{4x+2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. $x^2 + 4 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
2. $x^2 + 5 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
3. $x^2 + 6 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
4. $4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
5. $4x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$.
6. $4x + 2 \ge 0 \implies x \ge -1/2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}) + (\sqrt[4]{x^2 + 5} - \sqrt[4]{4x+1}) + (\sqrt[6]{x^2 + 6} - \sqrt[6]{4x+2}) = 0$

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности. Заметим, что если $x=2$, то подкоренные выражения в каждой паре становятся равными:

$x^2+4 = 2^2+4 = 8$ и $4x = 4 \cdot 2 = 8$.

$x^2+5 = 2^2+5 = 9$ и $4x+1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$.

$x^2+6 = 2^2+6 = 10$ и $4x+2 = 4 \cdot 2 + 2 = 10$.

Таким образом, при $x=2$ каждое из слагаемых в скобках обращается в ноль, и уравнение выполняется. То есть $x=2$ является корнем уравнения. Докажем, что других корней нет.

Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}$. Умножим и разделим его на сопряженное выражение:

$\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x} = \frac{(\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x})(\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x})}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} = \frac{(x^2+4) - 4x}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}} = \frac{x^2 - 4x + 4}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}} = \frac{(x-2)^2}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}}$

В области ОДЗ ($x \ge 0$) знаменатель $\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}$ всегда положителен. Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Следовательно, первое слагаемое $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

Аналогично поступим со вторым и третьим слагаемыми, используя формулу разности $a^n - b^n$:

$\sqrt[4]{x^2 + 5} - \sqrt[4]{4x+1} = \frac{(x^2+5) - (4x+1)}{(\dots)} = \frac{x^2-4x+4}{(\dots)} = \frac{(x-2)^2}{(\dots)}$, где знаменатель является суммой положительных членов и, следовательно, положителен. Значит, второе слагаемое также $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

$\sqrt[6]{x^2 + 6} - \sqrt[6]{4x+2} = \frac{(x^2+6) - (4x+2)}{(\dots)} = \frac{x^2-4x+4}{(\dots)} = \frac{(x-2)^2}{(\dots)}$, где знаменатель также положителен. Значит, третье слагаемое $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

Таким образом, уравнение представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Каждое слагаемое равно нулю только при $x=2$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=2$.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt[4]{2x+3} + \sqrt[6]{3x+7} = \sqrt{2x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{6x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. $2x+3 \ge 0 \implies x \ge -3/2$.
3. $3x+7 \ge 0 \implies x \ge -7/3$.
4. $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.
5. $4x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$.
6. $6x+4 \ge 0 \implies x \ge -2/3$.
Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge 0$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставим $x=1$ в обе части:

Левая часть: $\sqrt{1+1} + \sqrt[4]{2(1)+3} + \sqrt[6]{3(1)+7} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{5} + \sqrt[6]{10}$.

Правая часть: $\sqrt{2(1)} + \sqrt[4]{4(1)+1} + \sqrt[6]{6(1)+4} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{5} + \sqrt[6]{10}$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения. Докажем, что этот корень единственный.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt{x+1} - \sqrt{2x}) + (\sqrt[4]{2x+3} - \sqrt[4]{4x+1}) + (\sqrt[6]{3x+7} - \sqrt[6]{6x+4})$.

Нам нужно решить уравнение $f(x)=0$. Мы уже знаем, что $f(1)=0$. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{2x}}\right) + \left(\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}\right) + \left(\frac{1}{2\sqrt[6]{(3x+7)^5}} - \frac{1}{\sqrt[6]{(6x+4)^5}}\right)$

Оценим знак каждого из слагаемых в $f'(x)$ для $x \ge 0$.

1. Сравним $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2x}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{2x}$. Возведем в квадрат: $4(x+1)$ и $2x$, то есть $4x+4$ и $2x$. Так как $4x+4 > 2x$ для $x \ge 0$, то $2\sqrt{x+1} > \sqrt{2x}$, а значит $\frac{1}{2\sqrt{x+1}} < \frac{1}{\sqrt{2x}}$. Первое слагаемое в $f'(x)$ отрицательно.

2. Сравним $\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}}$ и $\frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt[4]{(2x+3)^3}$ и $\sqrt[4]{(4x+1)^3}$. Возведем в 4-ю степень: $16(2x+3)^3$ и $(4x+1)^3$. Для $x \ge 0$ имеем $2x+3 > 0$ и $4x+1 > 0$. Также $16 > 1$ и $2x+3 > 4x+1$ неверно, поэтому сравним иначе: $4x+1 = 2(2x+3)-5$. Пусть $y=2x+3 \ge 3$. Сравниваем $16y^3$ и $(2y-5)^3$. Поскольку $2y-5 < 2y$, то $(2y-5)^3 < (2y)^3 = 8y^3 < 16y^3$. Итак, $16(2x+3)^3 > (4x+1)^3$. Следовательно, $2\sqrt[4]{(2x+3)^3} > \sqrt[4]{(4x+1)^3}$, а значит $\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}} < \frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}$. Второе слагаемое в $f'(x)$ также отрицательно.

3. Сравним $\frac{1}{2\sqrt[6]{(3x+7)^5}}$ и $\frac{1}{\sqrt[6]{(6x+4)^5}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt[6]{(3x+7)^5}$ и $\sqrt[6]{(6x+4)^5}$. Возведем в 6-ю степень: $64(3x+7)^5$ и $(6x+4)^5 = (2(3x+2))^5 = 32(3x+2)^5$. Сравниваем $2(3x+7)^5$ и $(3x+2)^5$. Для $x \ge 0$, $3x+7 > 3x+2 > 0$, поэтому $(3x+7)^5 > (3x+2)^5$, и тем более $2(3x+7)^5 > (3x+2)^5$. Значит, третье слагаемое в $f'(x)$ тоже отрицательно.

Так как все три слагаемых в $f'(x)$ отрицательны для $x \ge 0$, то $f'(x) < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей. Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение (в том числе 0) не более одного раза. Поскольку мы нашли, что $f(1)=0$, корень $x=1$ является единственным.

Ответ: $x=1$.