Страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.36° Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?

Почему?

Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?

Для ответа на этот вопрос необходимо сначала составить саму систему неравенств, которая задает треугольник с вершинами в точках A(-2, 1), B(1, 4) и C(3, -2) (согласно заданию 9.35). В минимальной системе, которая точно описывает заданный треугольник как ограниченную область, все неравенства являются необходимыми. Таким образом, ни одно из неравенств опустить нельзя.

Ответ: Ни одно.

Почему?

Обоснование этого вывода состоит из двух шагов: построения системы неравенств и анализа ее свойств.

1. Построение системы неравенств

Система, задающая треугольник, формируется из трех линейных неравенств. Каждое неравенство соответствует полуплоскости, ограниченной прямой, содержащей одну из сторон треугольника. Треугольник является пересечением (общей областью) этих трех полуплоскостей.

• Сторона AB (точки A(-2, 1) и B(1, 4)): Уравнение прямой, проходящей через эти точки, находится по формуле: $ \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-2)}{1 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} $. Упрощая, получаем: $y - 1 = x + 2$, или $x - y + 3 = 0$. Для определения знака неравенства используем координаты третьей вершины C(3, -2), которая должна лежать в нужной полуплоскости: $3 - (-2) + 3 = 8$. Так как $8 > 0$, первое неравенство системы: $x - y + 3 \ge 0$.
• Сторона BC (точки B(1, 4) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_B}{y_C - y_B} = \frac{x - x_B}{x_C - x_B} \Rightarrow \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 1}{3 - 1} \Rightarrow \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 1}{2} $. Упрощая, получаем: $y - 4 = -3(x - 1)$, или $3x + y - 7 = 0$. Подставляем координаты вершины A(-2, 1): $3(-2) + 1 - 7 = -12$. Так как $-12 < 0$, второе неравенство: $3x + y - 7 \le 0$.
• Сторона AC (точки A(-2, 1) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_A}{y_C - y_A} = \frac{x - x_A}{x_C - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{-2 - 1} = \frac{x - (-2)}{3 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{-3} = \frac{x + 2}{5} $. Упрощая, получаем: $5(y - 1) = -3(x + 2)$, или $3x + 5y + 1 = 0$. Подставляем координаты вершины B(1, 4): $3(1) + 5(4) + 1 = 24$. Так как $24 > 0$, третье неравенство: $3x + 5y + 1 \ge 0$.

Таким образом, искомая система неравенств, задающая треугольник ABC, имеет вид:

2. Анализ необходимости каждого неравенства

Геометрически, решение данной системы — это пересечение трех полуплоскостей. Это пересечение является ограниченной выпуклой областью — треугольником ABC.

Рассмотрим, что произойдет, если мы опустим (удалим) одно из неравенств. Например, если убрать первое неравенство $x - y + 3 \ge 0$, останется система из двух неравенств:$$ \begin{cases} 3x + y - 7 \le 0 \\ 3x + 5y + 1 \ge 0 \end{cases} $$Решением этой системы является пересечение двух полуплоскостей, которое представляет собой бесконечную область (угол) с вершиной в точке C(3, -2) (точка пересечения прямых $3x + y - 7 = 0$ и $3x + 5y + 1 = 0$). Эта область не является треугольником.

Аналогично, удаление любого другого неравенства приведет к тому, что решением станет бесконечный угол с вершиной в A или B. Следовательно, каждое из трех неравенств является критически важным для определения именно ограниченной фигуры — треугольника. Ни одно из них не является избыточным.

Формулировка вопроса "Какое из неравенств...", вероятно, является проверкой на понимание того, что для определения замкнутого многоугольника необходимо использовать все неравенства, соответствующие его сторонам.

Ответ: Потому что система, состоящая из трех неравенств, является минимально необходимой для определения ограниченной фигуры (треугольника) как пересечения полуплоскостей. Удаление любого из неравенств превращает решение из ограниченного треугольника в неограниченную область (угол), что противоречит цели задания — описать треугольник.

9.37 Докажите, что каждое из уравнений $\operatorname{arctg} f(x) = \operatorname{arctg} g(x)$ и $\operatorname{arcctg} f(x) = \operatorname{arcctg} g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Чтобы доказать, что два уравнения равносильны, нужно показать, что множества их решений совпадают. Это значит, что любое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот. Рассмотрим оба случая, упомянутые в задаче.

$\arctg f(x) = \arctg g(x)$

Докажем, что уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Равносильность следует из ключевых свойств функции $y = \arctg(t)$:

1. Область определения. Функция $y = \arctg(t)$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения — $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ определяется только теми значениями $x$, для которых существуют (определены) оба выражения, $f(x)$ и $g(x)$. Эта же область является ОДЗ и для уравнения $f(x) = g(x)$. Поскольку ОДЗ у обоих уравнений совпадают, преобразования не приведут к потере или появлению корней из-за изменения области определения.

2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arctg(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Любая строго монотонная функция является взаимно однозначной. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, равенство $\arctg(t_1) = \arctg(t_2)$ возможно тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.

Из этих свойств следует, что:

• Если $x_0$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$, то $f(x_0) = g(x_0)$. Применив функцию $\arctg$ к обеим частям, получим верное равенство $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$, так как функция однозначна. Значит, $x_0$ — решение первого уравнения.
• Если $x_0$ является решением уравнения $\arctg f(x) = \arctg g(x)$, то $\arctg(f(x_0)) = \arctg(g(x_0))$. В силу взаимной однозначности функции $\arctg$, из этого следует, что $f(x_0) = g(x_0)$. Значит, $x_0$ — решение второго уравнения.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, они равносильны.

Ответ: Уравнение $\arctg f(x) = \arctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

$\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$

Доказательство для этого случая полностью аналогично предыдущему и основывается на свойствах функции $y = \arcctg(t)$.

1. Область определения. Функция $y = \arcctg(t)$ также определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty, +\infty)$. Следовательно, ОДЗ уравнений $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ совпадают.

2. Взаимная однозначность (инъективность). Функция $y = \arcctg(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Как и любая строго монотонная функция, она является взаимно однозначной. Это означает, что равенство $\arcctg(t_1) = \arcctg(t_2)$ выполняется тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.

Таким образом, переход от уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ и обратно является равносильным преобразованием на их общей области определения.

Следовательно, уравнения $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ и $f(x) = g(x)$ имеют одинаковые множества решений и являются равносильными.

Ответ: Уравнение $\arcctg f(x) = \arcctg g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Решите уравнение (9.38–9.42):

9.38 a) $\arcsin(x^2 - 80.5) = \arcsin(x - 8.5);$

б) $\arccos(x^2 - 9) = \arccos(7x + 21);$

в) $\operatorname{arctg}(x^2 - 1) = \operatorname{arctg}(5x - 5);$

г) $\operatorname{arcctg}(x^2 - 1) = \operatorname{arcctg}(6x - 6).$

Дано уравнение $arcsin(x^2 - 80,5) = arcsin(x - 8,5)$.

Функция $y = arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, поэтому из равенства арксинусов следует равенство их аргументов. Также необходимо учесть область определения функции $arcsin(t)$, которая требует, чтобы ее аргумент $t$ находился в промежутке $[-1; 1]$.

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 80,5 = x - 8,5 \\ -1 \le x - 8,5 \le 1 \end{cases}$

Решим сначала первое уравнение системы:

$x^2 - x - 80,5 + 8,5 = 0$

$x^2 - x - 72 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы (области определения): $-1 \le x - 8,5 \le 1$.

1. Для $x = 9$:

$-1 \le 9 - 8,5 \le 1$

$-1 \le 0,5 \le 1$

Неравенство верное. Следовательно, $x = 9$ является корнем исходного уравнения.

2. Для $x = -8$:

$-1 \le -8 - 8,5 \le 1$

$-1 \le -16,5 \le 1$

Неравенство неверное, так как $-16,5 < -1$. Следовательно, $x = -8$ не является корнем исходного уравнения.

Ответ: 9

Дано уравнение $arccos(x^2 - 9) = arccos(7x + 21)$.

Функция $y = arccos(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, поэтому из равенства арккосинусов следует равенство их аргументов. Область определения функции $arccos(t)$ требует, чтобы ее аргумент $t$ находился в промежутке $[-1; 1]$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 9 = 7x + 21 \\ -1 \le 7x + 21 \le 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 7x - 9 - 21 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 7, произведение равно -30. Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие области определения $-1 \le 7x + 21 \le 1$.

1. Для $x = 10$:

$-1 \le 7(10) + 21 \le 1$

$-1 \le 70 + 21 \le 1$

$-1 \le 91 \le 1$

Неравенство неверное, так как $91 > 1$. Значит, $x = 10$ не является корнем.

2. Для $x = -3$:

$-1 \le 7(-3) + 21 \le 1$

$-1 \le -21 + 21 \le 1$

$-1 \le 0 \le 1$

Неравенство верное. Следовательно, $x = -3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: -3

Дано уравнение $arctg(x^2 - 1) = arctg(5x - 5)$.

Функция $y = arctg(t)$ определена и монотонно возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Поэтому из равенства арктангенсов следует равенство их аргументов. Никаких дополнительных ограничений на $x$ не возникает.

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 1 = 5x - 5$

$x^2 - 5x - 1 + 5 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения, так как область определения арктангенса - все действительные числа.

Ответ: 1; 4

Дано уравнение $arcctg(x^2 - 1) = arcctg(6x - 6)$.

Функция $y = arcctg(t)$ определена и монотонно убывает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Поэтому из равенства арккотангенсов следует равенство их аргументов. Ограничений на область определения нет.

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 1 = 6x - 6$

$x^2 - 6x - 1 + 6 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения, так как область определения арккотангенса - все действительные числа.

Ответ: 1; 5

9.39* a) $log_{0,5} \operatorname{tg} x + \left(\frac{1}{3}\right)^{\operatorname{tg} x} - \sqrt[7]{\operatorname{tg} x} = log_{0,5} \operatorname{ctg} x + \left(\frac{1}{3}\right)^{\operatorname{ctg} x} - \sqrt[7]{\operatorname{ctg} x};$

б) $log_{0,2} \sin x - 5^{\sin x} - \sqrt[4]{\sin x} = log_{0,2} (-\cos x) - 5^{-\cos x} - \sqrt[4]{-\cos x}.$

a) Решим уравнение $\log_{0.5} \operatorname{tg} x + (\frac{1}{3})^{\operatorname{tg} x} - \sqrt[7]{\operatorname{tg} x} = \log_{0.5} \operatorname{ctg} x + (\frac{1}{3})^{\operatorname{ctg} x} - \sqrt[7]{\operatorname{ctg} x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $\operatorname{tg} x > 0$ и $\operatorname{ctg} x > 0$. Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, второе условие автоматически выполняется, если выполняется первое. Таким образом, ОДЗ определяется неравенством $\operatorname{tg} x > 0$. Это соответствует $x \in (\pi k, \pi k + \frac{\pi}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что уравнение имеет вид $f(\operatorname{tg} x) = f(\operatorname{ctg} x)$, где $f(t) = \log_{0.5} t + (\frac{1}{3})^t - \sqrt[7]{t}$.

Исследуем эту функцию на монотонность на ее области определения $t > 0$. Для этого найдем ее производную:

$f'(t) = (\log_{0.5} t + (\frac{1}{3})^t - t^{1/7})' = (\log_{0.5} t)' + ((\frac{1}{3})^t)' - (t^{1/7})'$.

Вычислим производные каждого слагаемого:

$(\log_{0.5} t)' = \frac{1}{t \ln 0.5} = -\frac{1}{t \ln 2}$.

$((\frac{1}{3})^t)' = (\frac{1}{3})^t \ln(\frac{1}{3}) = -(\frac{1}{3})^t \ln 3$.

$-(t^{1/7})' = -\frac{1}{7} t^{-6/7} = -\frac{1}{7\sqrt[7]{t^6}}$.

Тогда производная функции $f'(t) = -\frac{1}{t \ln 2} - (\frac{1}{3})^t \ln 3 - \frac{1}{7\sqrt[7]{t^6}}$.

В области определения $t > 0$ все три слагаемых в выражении для производной отрицательны, так как $t > 0, \ln 2 > 0, \ln 3 > 0$. Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t > 0$.

Это означает, что функция $f(t)$ является строго монотонно убывающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(a) = f(b)$ выполняется тогда и только тогда, когда $a = b$. Применительно к нашему уравнению это означает, что $\operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} x$.

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$

$\operatorname{tg}^2 x = 1$

$\operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = -1$.

Согласно ОДЗ, нам подходит только решение, где $\operatorname{tg} x > 0$. Поэтому оставляем только $\operatorname{tg} x = 1$.

Из $\operatorname{tg} x = 1$ находим $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\log_{0.2} \sin x - 5^{\sin x} - \sqrt[4]{\sin x} = \log_{0.2} (-\cos x) - 5^{-\cos x} - \sqrt[4]{-\cos x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов и подкоренные выражения четной степени должны быть строго положительны:

1. $\sin x > 0$, что соответствует $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (I и II координатные четверти).

2. $-\cos x > 0$, что эквивалентно $\cos x < 0$. Это соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (II и III координатные четверти).

Пересечение этих двух условий дает нам II координатную четверть: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение можно представить в виде $f(\sin x) = f(-\cos x)$, где функция $f(t) = \log_{0.2} t - 5^t - \sqrt[4]{t}$.

Исследуем эту функцию на монотонность при $t > 0$. Найдем ее производную:

$f'(t) = (\log_{0.2} t - 5^t - t^{1/4})' = (\log_{0.2} t)' - (5^t)' - (t^{1/4})'$.

Вычислим производные:

$(\log_{0.2} t)' = \frac{1}{t \ln 0.2} = -\frac{1}{t \ln 5}$.

$-(5^t)' = -5^t \ln 5$.

$-(t^{1/4})' = -\frac{1}{4}t^{-3/4} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}}$.

Таким образом, производная $f'(t) = -\frac{1}{t \ln 5} - 5^t \ln 5 - \frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}}$.

Для $t > 0$ все слагаемые в выражении для производной отрицательны. Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t > 0$.

Функция $f(t)$ является строго монотонно убывающей на $(0, +\infty)$.

Из строгого убывания функции следует, что равенство $f(\sin x) = f(-\cos x)$ возможно только при $\sin x = -\cos x$.

Решим это уравнение. Так как в ОДЗ $\cos x < 0$, мы можем разделить обе части на $\cos x$ без риска деления на ноль:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\operatorname{tg} x = -1$.

Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k)$.

Подставляя различные целые значения $n$, находим подходящие корни. Например, при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ (случай $k=0$ в ОДЗ). При $n=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$, что не входит в ОДЗ. При $n=3$, $x = -\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi$, что соответствует случаю $k=1$.

Таким образом, решениями являются все углы вида $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

9.40* a) $\sqrt{x^2 - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 3} = \sqrt{x + 1} + \sqrt[4]{x + 3}$;

б) $\sqrt[4]{x^2 - x - 3} + \sqrt{x^2 - x + 5} = \sqrt[4]{2x + 1} + \sqrt{2x + 9}$;

В) $\sqrt{\sin x - 0,1} + \sqrt[4]{\sin x + 0,9} = \sqrt{\cos x + 0,9} + \sqrt[4]{\cos x + 1,9}$;

Г) $\sqrt[4]{\operatorname{tg} x + \sqrt{\operatorname{tg} x + 1}} = \sqrt[4]{2 - \operatorname{ctg} x + \sqrt{3 - \operatorname{ctg} x}}$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 5} + \sqrt[4]{x^2 - 3} = \sqrt{x + 1} + \sqrt[4]{x + 3}$.

Заметим, что обе части уравнения имеют схожую структуру. Преобразуем выражения под корнями:

Левая часть: $\sqrt{(x^2 - 3) - 2} + \sqrt[4]{x^2 - 3}$.

Правая часть: $\sqrt{(x + 3) - 2} + \sqrt[4]{x + 3}$.

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t - 2} + \sqrt[4]{t}$. Тогда уравнение можно записать в виде $f(x^2 - 3) = f(x + 3)$.

Найдем область определения функции $f(t)$. Необходимо, чтобы $t - 2 \ge 0$ и $t \ge 0$, что равносильно $t \ge 2$.

Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(t) = (\sqrt{t - 2} + \sqrt[4]{t})' = \frac{1}{2\sqrt{t - 2}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}}$.

На всей области определения $t > 2$ производная $f'(t) > 0$, так как оба слагаемых положительны. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на своей области определения.

Из того, что функция $f(t)$ строго монотонна, равенство $f(t_1) = f(t_2)$ возможно только при $t_1 = t_2$.

Таким образом, $x^2 - 3 = x + 3$.

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. ОДЗ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x^2 - 3 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \ge 5 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty) \\ x \ge -1 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge \sqrt{5}$ (поскольку $\sqrt{5} \approx 2.23$).

Проверяем корни:

1. $x = 3$. $3 \ge \sqrt{5}$ (так как $9 \ge 5$). Корень подходит.

2. $x = -2$. $-2 < \sqrt{5}$. Корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $3$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x^2 - x - 3} + \sqrt{x^2 - x + 5} = \sqrt[4]{2x + 1} + \sqrt{2x + 9}$.

Заметим, что $x^2 - x + 5 = (x^2 - x - 3) + 8$ и $2x + 9 = (2x + 1) + 8$.

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt[4]{t} + \sqrt{t + 8}$. Тогда уравнение можно переписать в виде $f(x^2 - x - 3) = f(2x + 1)$.

Область определения функции $f(t)$ задается условиями $t \ge 0$ и $t + 8 \ge 0$, что равносильно $t \ge 0$.

Найдем производную функции:

$f'(t) = (\sqrt[4]{t} + \sqrt{t+8})' = \frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}} + \frac{1}{2\sqrt{t+8}}$.

При $t > 0$ производная $f'(t) > 0$, следовательно, функция $f(t)$ строго возрастает на своей области определения.

Так как функция строго монотонна, равенство $f(t_1) = f(t_2)$ выполняется тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$.

Приравниваем аргументы: $x^2 - x - 3 = 2x + 1$.

Решаем квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ исходного уравнения. ОДЗ определяется тем, что аргументы функции $f(t)$ должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} x^2 - x - 3 \ge 0 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Корни уравнения $x^2 - x - 3 = 0$ равны $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Таким образом, $x^2 - x - 3 \ge 0$ при $x \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}] \cup [\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \infty)$.

Из второго неравенства имеем $x \ge -0.5$.

Так как $\frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1+3.6}{2} = 2.3$, то общая ОДЗ: $x \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Проверяем корни:

1. $x = 4$. $4 > \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Корень подходит.

2. $x = -1$. $-1 < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $4$.

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{\sin x - 0.1} + \sqrt[4]{\sin x + 0.9} = \sqrt{\cos x + 0.9} + \sqrt[4]{\cos x + 1.9}$.

Заметим, что $\sin x + 0.9 = (\sin x - 0.1) + 1$ и $\cos x + 1.9 = (\cos x + 0.9) + 1$.

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t} + \sqrt[4]{t + 1}$. Уравнение принимает вид $f(\sin x - 0.1) = f(\cos x + 0.9)$.

Область определения $f(t)$: $t \ge 0$ и $t + 1 \ge 0$, что равносильно $t \ge 0$.

Производная функции: $f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{(t+1)^3}}$.

При $t>0$ производная $f'(t)>0$, значит, функция $f(t)$ строго возрастает.

Из монотонности функции следует равенство аргументов: $\sin x - 0.1 = \cos x + 0.9$.

$\sin x - \cos x = 1$.

Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\cos(\frac{\pi}{4})\sin x - \sin(\frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

По формуле синуса разности: $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решения этого уравнения:

1. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим решения по ОДЗ. Условие $t \ge 0$ означает, что $\sin x - 0.1 \ge 0$ (и, соответственно, $\cos x + 0.9 \ge 0$).

$\sin x \ge 0.1$.

1. Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$. $1 \ge 0.1$. Эта серия корней подходит.

2. Для $x = \pi + 2\pi n$: $\sin(\pi + 2\pi n) = 0$. $0 < 0.1$. Эта серия корней является посторонней.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $\sqrt[4]{\operatorname{tg} x} + \sqrt{\operatorname{tg} x + 1} = \sqrt[4]{2 - \operatorname{ctg} x} + \sqrt{3 - \operatorname{ctg} x}$.

Заметим, что $3 - \operatorname{ctg} x = (2 - \operatorname{ctg} x) + 1$.

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt[4]{t} + \sqrt{t + 1}$. Тогда уравнение можно записать в виде $f(\operatorname{tg} x) = f(2 - \operatorname{ctg} x)$.

Как и в задаче (в), эта функция является строго возрастающей на своей области определения $t \ge 0$.

Следовательно, равенство возможно только при равенстве аргументов: $\operatorname{tg} x = 2 - \operatorname{ctg} x$.

Сделаем замену $y = \operatorname{tg} x$. Тогда $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{y}$ (при $y \ne 0$).

$y = 2 - \frac{1}{y}$.

Домножим на $y$: $y^2 = 2y - 1$.

$y^2 - 2y + 1 = 0$.

$(y-1)^2 = 0$.

$y=1$.

Возвращаемся к исходной переменной: $\operatorname{tg} x = 1$.

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ. Аргументы функции $f(t)$ должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} \operatorname{tg} x \ge 0 \\ 2 - \operatorname{ctg} x \ge 0 \end{cases}$

Для найденных решений $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, имеем $\operatorname{tg} x = 1$ и $\operatorname{ctg} x = 1$.

1. $\operatorname{tg} x = 1 \ge 0$. Верно.

2. $2 - \operatorname{ctg} x = 2 - 1 = 1 \ge 0$. Верно.

Кроме того, в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ тангенс и котангенс определены.

Все найденные решения подходят.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9.41* a) $\sqrt{x^2+4} + \sqrt[4]{x^2+5} + \sqrt[6]{x^2+6} = \sqrt{4x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{4x+2};$

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt[4]{2x+3} + \sqrt[6]{3x+7} = \sqrt{2x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{6x+4}.$

a) $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt[4]{x^2 + 5} + \sqrt[6]{x^2 + 6} = \sqrt{4x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{4x+2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. $x^2 + 4 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
2. $x^2 + 5 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
3. $x^2 + 6 \ge 0$ - выполняется для любого действительного $x$.
4. $4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
5. $4x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$.
6. $4x + 2 \ge 0 \implies x \ge -1/2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}) + (\sqrt[4]{x^2 + 5} - \sqrt[4]{4x+1}) + (\sqrt[6]{x^2 + 6} - \sqrt[6]{4x+2}) = 0$

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности. Заметим, что если $x=2$, то подкоренные выражения в каждой паре становятся равными:

$x^2+4 = 2^2+4 = 8$ и $4x = 4 \cdot 2 = 8$.

$x^2+5 = 2^2+5 = 9$ и $4x+1 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$.

$x^2+6 = 2^2+6 = 10$ и $4x+2 = 4 \cdot 2 + 2 = 10$.

Таким образом, при $x=2$ каждое из слагаемых в скобках обращается в ноль, и уравнение выполняется. То есть $x=2$ является корнем уравнения. Докажем, что других корней нет.

Рассмотрим первое слагаемое: $\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x}$. Умножим и разделим его на сопряженное выражение:

$\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x} = \frac{(\sqrt{x^2 + 4} - \sqrt{4x})(\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x})}{\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{4x}} = \frac{(x^2+4) - 4x}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}} = \frac{x^2 - 4x + 4}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}} = \frac{(x-2)^2}{\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}}$

В области ОДЗ ($x \ge 0$) знаменатель $\sqrt{x^2+4} + \sqrt{4x}$ всегда положителен. Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Следовательно, первое слагаемое $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

Аналогично поступим со вторым и третьим слагаемыми, используя формулу разности $a^n - b^n$:

$\sqrt[4]{x^2 + 5} - \sqrt[4]{4x+1} = \frac{(x^2+5) - (4x+1)}{(\dots)} = \frac{x^2-4x+4}{(\dots)} = \frac{(x-2)^2}{(\dots)}$, где знаменатель является суммой положительных членов и, следовательно, положителен. Значит, второе слагаемое также $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

$\sqrt[6]{x^2 + 6} - \sqrt[6]{4x+2} = \frac{(x^2+6) - (4x+2)}{(\dots)} = \frac{x^2-4x+4}{(\dots)} = \frac{(x-2)^2}{(\dots)}$, где знаменатель также положителен. Значит, третье слагаемое $\ge 0$ и равно нулю только при $x=2$.

Таким образом, уравнение представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Каждое слагаемое равно нулю только при $x=2$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=2$.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt{x+1} + \sqrt[4]{2x+3} + \sqrt[6]{3x+7} = \sqrt{2x} + \sqrt[4]{4x+1} + \sqrt[6]{6x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. $2x+3 \ge 0 \implies x \ge -3/2$.
3. $3x+7 \ge 0 \implies x \ge -7/3$.
4. $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.
5. $4x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/4$.
6. $6x+4 \ge 0 \implies x \ge -2/3$.
Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge 0$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставим $x=1$ в обе части:

Левая часть: $\sqrt{1+1} + \sqrt[4]{2(1)+3} + \sqrt[6]{3(1)+7} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{5} + \sqrt[6]{10}$.

Правая часть: $\sqrt{2(1)} + \sqrt[4]{4(1)+1} + \sqrt[6]{6(1)+4} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{5} + \sqrt[6]{10}$.

Левая часть равна правой, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения. Докажем, что этот корень единственный.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt{x+1} - \sqrt{2x}) + (\sqrt[4]{2x+3} - \sqrt[4]{4x+1}) + (\sqrt[6]{3x+7} - \sqrt[6]{6x+4})$.

Нам нужно решить уравнение $f(x)=0$. Мы уже знаем, что $f(1)=0$. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{2x}}\right) + \left(\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}\right) + \left(\frac{1}{2\sqrt[6]{(3x+7)^5}} - \frac{1}{\sqrt[6]{(6x+4)^5}}\right)$

Оценим знак каждого из слагаемых в $f'(x)$ для $x \ge 0$.

1. Сравним $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2x}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{2x}$. Возведем в квадрат: $4(x+1)$ и $2x$, то есть $4x+4$ и $2x$. Так как $4x+4 > 2x$ для $x \ge 0$, то $2\sqrt{x+1} > \sqrt{2x}$, а значит $\frac{1}{2\sqrt{x+1}} < \frac{1}{\sqrt{2x}}$. Первое слагаемое в $f'(x)$ отрицательно.

2. Сравним $\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}}$ и $\frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt[4]{(2x+3)^3}$ и $\sqrt[4]{(4x+1)^3}$. Возведем в 4-ю степень: $16(2x+3)^3$ и $(4x+1)^3$. Для $x \ge 0$ имеем $2x+3 > 0$ и $4x+1 > 0$. Также $16 > 1$ и $2x+3 > 4x+1$ неверно, поэтому сравним иначе: $4x+1 = 2(2x+3)-5$. Пусть $y=2x+3 \ge 3$. Сравниваем $16y^3$ и $(2y-5)^3$. Поскольку $2y-5 < 2y$, то $(2y-5)^3 < (2y)^3 = 8y^3 < 16y^3$. Итак, $16(2x+3)^3 > (4x+1)^3$. Следовательно, $2\sqrt[4]{(2x+3)^3} > \sqrt[4]{(4x+1)^3}$, а значит $\frac{1}{2\sqrt[4]{(2x+3)^3}} < \frac{1}{\sqrt[4]{(4x+1)^3}}$. Второе слагаемое в $f'(x)$ также отрицательно.

3. Сравним $\frac{1}{2\sqrt[6]{(3x+7)^5}}$ и $\frac{1}{\sqrt[6]{(6x+4)^5}}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt[6]{(3x+7)^5}$ и $\sqrt[6]{(6x+4)^5}$. Возведем в 6-ю степень: $64(3x+7)^5$ и $(6x+4)^5 = (2(3x+2))^5 = 32(3x+2)^5$. Сравниваем $2(3x+7)^5$ и $(3x+2)^5$. Для $x \ge 0$, $3x+7 > 3x+2 > 0$, поэтому $(3x+7)^5 > (3x+2)^5$, и тем более $2(3x+7)^5 > (3x+2)^5$. Значит, третье слагаемое в $f'(x)$ тоже отрицательно.

Так как все три слагаемых в $f'(x)$ отрицательны для $x \ge 0$, то $f'(x) < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей. Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение (в том числе 0) не более одного раза. Поскольку мы нашли, что $f(1)=0$, корень $x=1$ является единственным.

Ответ: $x=1$.

9.42* а) $e^{x^2 - 4x + 5} + \sqrt[3]{x^2 - 4x + 5} = e^{2x^2 - 3x + 7} + \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 7};$

б) $\pi^{x^2 + 1000} + \sqrt[9]{x^2 + 1000} = \pi^{2002x - 1001} + \sqrt[9]{2002x - 1001};$

В) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sin x} - \sqrt[5]{\sin x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\cos x} - \sqrt[5]{\cos x};$

Г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\sin^2 x} - (\sin x)^{4002}.$

а) Исходное уравнение $e^{x^2 - 4x + 5} + \sqrt[3]{x^2 - 4x + 5} = e^{2x^2 - 3x + 7} + \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 7}$ имеет вид $f(u) = f(v)$, где $u = x^2 - 4x + 5$, $v = 2x^2 - 3x + 7$ и функция $f(t) = e^t + \sqrt[3]{t}$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(t) = (e^t + t^{1/3})' = e^t + \frac{1}{3}t^{-2/3} = e^t + \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}$.
Для любого действительного $t \ne 0$ имеем $e^t > 0$ и $\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} > 0$. Следовательно, $f'(t) > 0$ при $t \ne 0$.Функция $f(t)$ непрерывна на всей числовой оси, а ее производная положительна везде, где определена. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Для строго монотонной функции равенство $f(u) = f(v)$ равносильно равенству $u = v$.Таким образом, исходное уравнение равносильно следующему:
$x^2 - 4x + 5 = 2x^2 - 3x + 7$
$x^2 + x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных решений.

б) Исходное уравнение $\pi^{x^2 + 1000} + \sqrt[9]{x^2 + 1000} = \pi^{2002x - 1001} + \sqrt[9]{2002x - 1001}$ имеет вид $f(u) = f(v)$, где $u = x^2 + 1000$, $v = 2002x - 1001$ и функция $f(t) = \pi^t + \sqrt[9]{t}$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Ее производная:
$f'(t) = (\pi^t + t^{1/9})' = \pi^t \ln(\pi) + \frac{1}{9}t^{-8/9} = \pi^t \ln(\pi) + \frac{1}{9\sqrt[9]{t^8}}$.
Так как $\pi \approx 3.14 > 1$, то $\ln(\pi) > 0$, и, следовательно, $\pi^t \ln(\pi) > 0$ для любого $t$. Выражение $\frac{1}{9\sqrt[9]{t^8}}$ положительно для всех $t \ne 0$.Таким образом, $f'(t) > 0$ для всех $t \ne 0$, и, так как функция $f(t)$ непрерывна, она является строго возрастающей на $\mathbb{R}$.
Из равенства $f(u) = f(v)$ следует $u = v$:
$x^2 + 1000 = 2002x - 1001$
$x^2 - 2002x + 2001 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2002, а произведение равно 2001. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2001$.
Ответ: 1; 2001.

в) Исходное уравнение $(\frac{1}{2})^{\sin x} - \sqrt[5]{\sin x} = (\frac{1}{2})^{\cos x} - \sqrt[5]{\cos x}$ имеет вид $f(\sin x) = f(\cos x)$, где функция $f(t) = (\frac{1}{2})^t - \sqrt[5]{t}$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем производную:
$f'(t) = ((\frac{1}{2})^t - t^{1/5})' = (\frac{1}{2})^t \ln(\frac{1}{2}) - \frac{1}{5}t^{-4/5} = -(\ln 2)(\frac{1}{2})^t - \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$.
Первое слагаемое $-(\ln 2)(\frac{1}{2})^t$ всегда отрицательно. Второе слагаемое $-\frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$ также отрицательно для всех $t \ne 0$.Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t \ne 0$. Функция $f(t)$ является непрерывной и строго убывающей на всей числовой прямой.
Для строго монотонной функции равенство $f(u) = f(v)$ равносильно $u=v$. В нашем случае это означает:
$\sin x = \cos x$
Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению. Значит $\cos x \ne 0$, и можно разделить обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \implies \tan x = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение $(\frac{1}{3})^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x} - (\sin x)^{4002}$.
Заметим, что $(\sin x)^{4002} = ((\sin x)^2)^{2001}$. Обозначим $y = \sin x$, тогда $\sin^2 x = y^2$. Уравнение примет вид:
$(\frac{1}{3})^y - y^{2001} = (\frac{1}{3})^{y^2} - (y^2)^{2001}$.
Это уравнение вида $f(y) = f(y^2)$, где функция $f(t) = (\frac{1}{3})^t - t^{2001}$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Ее производная:
$f'(t) = ((\frac{1}{3})^t - t^{2001})' = (\frac{1}{3})^t \ln(\frac{1}{3}) - 2001 t^{2000} = -(\ln 3)(\frac{1}{3})^t - 2001 t^{2000}$.
Первое слагаемое $-(\ln 3)(\frac{1}{3})^t$ всегда отрицательно. Второе слагаемое $-2001 t^{2000}$ неположительно ($ \le 0$). Их сумма всегда отрицательна. Таким образом, $f'(t) < 0$ для всех $t \in \mathbb{R}$.
Функция $f(t)$ является строго убывающей. Следовательно, равенство $f(y) = f(y^2)$ возможно только при $y = y^2$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$\sin x = (\sin x)^2$
$\sin x (1 - \sin x) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.