Номер 9.38, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.38, страница 256.

Условие.

Решите уравнение (9.38–9.42):

9.38 a) $\arcsin(x^2 - 80.5) = \arcsin(x - 8.5);$

б) $\arccos(x^2 - 9) = \arccos(7x + 21);$

в) $\operatorname{arctg}(x^2 - 1) = \operatorname{arctg}(5x - 5);$

г) $\operatorname{arcctg}(x^2 - 1) = \operatorname{arcctg}(6x - 6).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано уравнение $arcsin(x^2 - 80,5) = arcsin(x - 8,5)$.

Функция $y = arcsin(t)$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения, поэтому из равенства арксинусов следует равенство их аргументов. Также необходимо учесть область определения функции $arcsin(t)$, которая требует, чтобы ее аргумент $t$ находился в промежутке $[-1; 1]$.

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 80,5 = x - 8,5 \\ -1 \le x - 8,5 \le 1 \end{cases}$

Решим сначала первое уравнение системы:

$x^2 - x - 80,5 + 8,5 = 0$

$x^2 - x - 72 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы (области определения): $-1 \le x - 8,5 \le 1$.

1. Для $x = 9$:

$-1 \le 9 - 8,5 \le 1$

$-1 \le 0,5 \le 1$

Неравенство верное. Следовательно, $x = 9$ является корнем исходного уравнения.

2. Для $x = -8$:

$-1 \le -8 - 8,5 \le 1$

$-1 \le -16,5 \le 1$

Неравенство неверное, так как $-16,5 < -1$. Следовательно, $x = -8$ не является корнем исходного уравнения.

Ответ: 9

б)

Дано уравнение $arccos(x^2 - 9) = arccos(7x + 21)$.

Функция $y = arccos(t)$ является монотонно убывающей на всей своей области определения, поэтому из равенства арккосинусов следует равенство их аргументов. Область определения функции $arccos(t)$ требует, чтобы ее аргумент $t$ находился в промежутке $[-1; 1]$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 9 = 7x + 21 \\ -1 \le 7x + 21 \le 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 7x - 9 - 21 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 7, произведение равно -30. Корни: $x_1 = 10$, $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие области определения $-1 \le 7x + 21 \le 1$.

1. Для $x = 10$:

$-1 \le 7(10) + 21 \le 1$

$-1 \le 70 + 21 \le 1$

$-1 \le 91 \le 1$

Неравенство неверное, так как $91 > 1$. Значит, $x = 10$ не является корнем.

2. Для $x = -3$:

$-1 \le 7(-3) + 21 \le 1$

$-1 \le -21 + 21 \le 1$

$-1 \le 0 \le 1$

Неравенство верное. Следовательно, $x = -3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: -3

в)

Дано уравнение $arctg(x^2 - 1) = arctg(5x - 5)$.

Функция $y = arctg(t)$ определена и монотонно возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Поэтому из равенства арктангенсов следует равенство их аргументов. Никаких дополнительных ограничений на $x$ не возникает.

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 1 = 5x - 5$

$x^2 - 5x - 1 + 5 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения, так как область определения арктангенса - все действительные числа.

Ответ: 1; 4

г)

Дано уравнение $arcctg(x^2 - 1) = arcctg(6x - 6)$.

Функция $y = arcctg(t)$ определена и монотонно убывает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Поэтому из равенства арккотангенсов следует равенство их аргументов. Ограничений на область определения нет.

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 1 = 6x - 6$

$x^2 - 6x - 1 + 6 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения, так как область определения арккотангенса - все действительные числа.

Ответ: 1; 5