Номер 9.45, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.45, страница 260.
№9.45 (с. 260)
Условие. №9.45 (с. 260)
скриншот условия

9.45 a) $ \sqrt{2x-1} > x-2; $
б) $ \sqrt{2x+1} > x-1. $
Решение 1. №9.45 (с. 260)


Решение 2. №9.45 (с. 260)


Решение 4. №9.45 (с. 260)
а) Решим неравенство $\sqrt{2x-1} > x-2$.
Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем. Решение неравенства — это объединение решений этих двух систем.
Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.
Если $x-2 < 0$, то неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (так как квадратный корень всегда неотрицателен, а любое неотрицательное число больше любого отрицательного).
Составим систему:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 < 0 \end{cases}$
Решим ее:
$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x < 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x < 2 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [1/2, 2)$.
Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.
Если $x-2 \ge 0$, то обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Также необходимо учесть область допустимых значений подкоренного выражения, но она будет автоматически выполнена, так как $2x-1 > (x-2)^2 \ge 0$.
Составим систему:
$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 > (x-2)^2 \end{cases}$
Решим ее:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x-1 > x^2-4x+4 \end{cases}$
Решим второе неравенство системы:
$2x-1 > x^2-4x+4$
$0 > x^2-6x+5$
$x^2-6x+5 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-6x+5=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (1, 5)$.
Теперь вернемся к системе и найдем пересечение полученного интервала с условием $x \ge 2$:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ 1 < x < 5 \end{cases} \implies x \in [2, 5)$.
Объединение решений.
Решение исходного неравенства — это объединение решений, полученных в двух случаях:
$[1/2, 2) \cup [2, 5) = [1/2, 5)$.
Ответ: $x \in [1/2, 5)$.
б) Решим неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.
Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.
Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.
Если $x-1 < 0$, неравенство верно при всех $x$ из области определения.
$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -1 \\ x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x < 1 \end{cases}$
Решением этой системы является промежуток $x \in [-1/2, 1)$.
Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.
Если $x-1 \ge 0$, возводим обе части в квадрат.
$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ (\sqrt{2x+1})^2 > (x-1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2-2x+1 \end{cases}$
Решим второе неравенство системы:
$2x+1 > x^2-2x+1$
$0 > x^2-4x$
$x^2-4x < 0$
$x(x-4) < 0$
Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (0, 4)$.
Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 1$:
$\begin{cases} x \ge 1 \\ 0 < x < 4 \end{cases} \implies x \in [1, 4)$.
Объединение решений.
Объединяем решения, полученные в двух случаях:
$[-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.
Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.45 расположенного на странице 260 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.45 (с. 260), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.