Номер 9.45, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.45, страница 260.

Условие.

9.45 a) $ \sqrt{2x-1} > x-2; $

б) $ \sqrt{2x+1} > x-1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\sqrt{2x-1} > x-2$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем. Решение неравенства — это объединение решений этих двух систем.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.

Если $x-2 < 0$, то неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно (так как квадратный корень всегда неотрицателен, а любое неотрицательное число больше любого отрицательного).

Составим систему:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 < 0 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x < 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x < 2 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [1/2, 2)$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.

Если $x-2 \ge 0$, то обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Также необходимо учесть область допустимых значений подкоренного выражения, но она будет автоматически выполнена, так как $2x-1 > (x-2)^2 \ge 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 > (x-2)^2 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 2x-1 > x^2-4x+4 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$2x-1 > x^2-4x+4$

$0 > x^2-6x+5$

$x^2-6x+5 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2-6x+5=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (1, 5)$.

Теперь вернемся к системе и найдем пересечение полученного интервала с условием $x \ge 2$:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ 1 < x < 5 \end{cases} \implies x \in [2, 5)$.

Объединение решений.

Решение исходного неравенства — это объединение решений, полученных в двух случаях:

$[1/2, 2) \cup [2, 5) = [1/2, 5)$.

Ответ: $x \in [1/2, 5)$.

---

б) Решим неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.

Если $x-1 < 0$, неравенство верно при всех $x$ из области определения.

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -1 \\ x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x < 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-1/2, 1)$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.

Если $x-1 \ge 0$, возводим обе части в квадрат.

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ (\sqrt{2x+1})^2 > (x-1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 2x+1 > x^2-2x+1 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$2x+1 > x^2-2x+1$

$0 > x^2-4x$

$x^2-4x < 0$

$x(x-4) < 0$

Корни уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (0, 4)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 1$:

$\begin{cases} x \ge 1 \\ 0 < x < 4 \end{cases} \implies x \in [1, 4)$.

Объединение решений.

Объединяем решения, полученные в двух случаях:

$[-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.

Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.