Номер 9.50, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.50, страница 260.

Условие.

9.50 a) $9^x + 1 + \text{ctg}\frac{\pi x}{2} < 10 \cdot 3^{x-1} + \text{ctg}\frac{\pi x}{2}$;

б) $4^x + 2 + \text{tg}\frac{\pi x}{2} < 9 \cdot 2^{x-1} + \text{tg}\frac{\pi x}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)Исходное неравенство: $9^x + 1 + \text{ctg}\frac{\pi x}{2} < 10 \cdot 3^{x-1} + \text{ctg}\frac{\pi x}{2}$.Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $\text{ctg}(u)$ определена, когда ее аргумент $u \neq \pi k$ для любого целого $k$. В нашем случае, $\frac{\pi x}{2} \neq \pi k$, что равносильно $x \neq 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. То есть, $x$ не может быть четным целым числом.Упростим неравенство, вычитая $\text{ctg}\frac{\pi x}{2}$ из обеих частей: $9^x + 1 < 10 \cdot 3^{x-1}$.Приведем степени к одному основанию 3. Так как $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$, неравенство принимает вид: $3^{2x} + 1 < 10 \cdot \frac{3^x}{3}$.Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $t^2 + 1 < \frac{10}{3}t$.Перенесем все члены в левую часть и решим его: $t^2 - \frac{10}{3}t + 1 < 0$. Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $3t^2 - 10t + 3 < 0$.Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни: $t_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3$.Парабола $y = 3t^2 - 10t + 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{3} < t < 3$.Вернемся к переменной $x$: $\frac{1}{3} < 3^x < 3$. Запишем в виде степеней с основанием 3: $3^{-1} < 3^x < 3^1$.Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей: $-1 < x < 1$.Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. В интервале $(-1, 1)$ единственное четное целое число - это $x=0$ (при $k=0$). Следовательно, это значение нужно исключить.Ответ: $(-1, 0) \cup (0, 1)$.

б)Исходное неравенство: $4^x + 2 + \text{tg}\frac{\pi x}{2} < 9 \cdot 2^{x-1} + \text{tg}\frac{\pi x}{2}$.Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\text{tg}(u)$ определена, когда ее аргумент $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$. В нашем случае, $\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, что равносильно $x \neq 1 + 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. То есть, $x$ не может быть нечетным целым числом.Упростим неравенство, вычитая $\text{tg}\frac{\pi x}{2}$ из обеих частей: $4^x + 2 < 9 \cdot 2^{x-1}$.Приведем степени к одному основанию 2. Так как $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$, неравенство принимает вид: $2^{2x} + 2 < 9 \cdot \frac{2^x}{2}$.Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как $y > 0$ для всех $x$, получаем квадратное неравенство: $y^2 + 2 < \frac{9}{2}y$.Перенесем все члены в левую часть и умножим на 2: $2y^2 - 9y + 4 < 0$.Найдем корни уравнения $2y^2 - 9y + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$. Корни: $y_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = 4$.Парабола $f(y) = 2y^2 - 9y + 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{2} < y < 4$.Вернемся к переменной $x$: $\frac{1}{2} < 2^x < 4$.Запишем в виде степеней с основанием 2: $2^{-1} < 2^x < 2^2$.Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей: $-1 < x < 2$.Учтем ОДЗ: $x \neq 1 + 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. В интервале $(-1, 2)$ находится одно нечетное целое число: $x=1$ (при $k=0$). Это значение нужно исключить.Ответ: $(-1, 1) \cup (1, 2)$.