Номер 9.48, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.48, страница 260.

Условие.

9.48 a) $\log_2(x^2 - 5x - 34) > \log_2(x + 6)$;

б) $\log_{0,5}(x^2 - 16) > \log_{0,5}(3x + 38)$;

в) $\log_3(x^2 - 4) < \log_3(44 - 2x)$;

г) $\log_{0,5}(x^2 - 22) < \log_{0,5}(3x + 18)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_2(x^2 - 5x - 34) > log_2(x + 6)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция $y = log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x - 34 > x + 6 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 5x - 34 - x - 6 > 0$

$x^2 - 6x - 40 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

$x_1 = \frac{6 - 14}{2} = -4$

$x_2 = \frac{6 + 14}{2} = 10$

Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 40$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 40 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4) \cup (10; +\infty)$.

Решим второе неравенство системы (область допустимых значений):

$x + 6 > 0 \implies x > -6$, то есть $x \in (-6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $((- \infty; -4) \cup (10; +\infty)) \cap (-6; +\infty)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-6; -4)$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (10; +\infty)$.

б) $log_{0,5}(x^2 - 16) > log_{0,5}(3x + 38)$

Так как основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, то функция $y = log_{0,5}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 16 < 3x + 38 \\ x^2 - 16 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 3x - 16 - 38 < 0$

$x^2 - 3x - 54 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 54 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 = -6$, $x_2 = 9$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 54 < 0$ выполняется при $x \in (-6; 9)$.

Решим второе неравенство системы (ОДЗ):

$x^2 - 16 > 0 \implies (x-4)(x+4) > 0$.

Решением является $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((- \infty; -4) \cup (4; +\infty)) \cap (-6; 9)$.

Это дает объединение интервалов $(-6; -4)$ и $(4; 9)$.

Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (4; 9)$.

в) $log_3(x^2 - 4) < log_3(44 - 2x)$

Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 < 44 - 2x \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 2x - 4 - 44 < 0$

$x^2 + 2x - 48 < 0$

Корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-8; 6)$.

Решим второе неравенство (ОДЗ):

$x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$.

Решением является $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((- \infty; -2) \cup (2; +\infty)) \cap (-8; 6)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-8; -2)$ и $(2; 6)$.

Ответ: $x \in (-8; -2) \cup (2; 6)$.

г) $log_{0,5}(x^2 - 22) < log_{0,5}(3x + 18)$

Основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 22 > 3x + 18 \\ 3x + 18 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 3x - 22 - 18 > 0$

$x^2 - 3x - 40 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = 8$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (8; +\infty)$.

Решим второе неравенство (ОДЗ):

$3x + 18 > 0 \implies 3x > -18 \implies x > -6$.

Решением является $x \in (-6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -5) \cup (8; +\infty)) \cap (-6; +\infty)$.

Пересечение дает нам два интервала: $(-6; -5)$ и $(8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; -5) \cup (8; +\infty)$.