Номер 9.48, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.48, страница 260.
№9.48 (с. 260)
Условие. №9.48 (с. 260)
скриншот условия

9.48 a) $\log_2(x^2 - 5x - 34) > \log_2(x + 6)$;
б) $\log_{0,5}(x^2 - 16) > \log_{0,5}(3x + 38)$;
в) $\log_3(x^2 - 4) < \log_3(44 - 2x)$;
г) $\log_{0,5}(x^2 - 22) < \log_{0,5}(3x + 18)$.
Решение 1. №9.48 (с. 260)




Решение 2. №9.48 (с. 260)


Решение 4. №9.48 (с. 260)
а) $log_2(x^2 - 5x - 34) > log_2(x + 6)$
Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция $y = log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x - 34 > x + 6 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$x^2 - 5x - 34 - x - 6 > 0$
$x^2 - 6x - 40 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.
$x_1 = \frac{6 - 14}{2} = -4$
$x_2 = \frac{6 + 14}{2} = 10$
Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 40$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 40 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4) \cup (10; +\infty)$.
Решим второе неравенство системы (область допустимых значений):
$x + 6 > 0 \implies x > -6$, то есть $x \in (-6; +\infty)$.
Найдем пересечение решений двух неравенств: $((- \infty; -4) \cup (10; +\infty)) \cap (-6; +\infty)$.
Пересечение дает нам два интервала: $(-6; -4)$ и $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (10; +\infty)$.
б) $log_{0,5}(x^2 - 16) > log_{0,5}(3x + 38)$
Так как основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, то функция $y = log_{0,5}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 16 < 3x + 38 \\ x^2 - 16 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$x^2 - 3x - 16 - 38 < 0$
$x^2 - 3x - 54 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 54 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 = -6$, $x_2 = 9$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 54 < 0$ выполняется при $x \in (-6; 9)$.
Решим второе неравенство системы (ОДЗ):
$x^2 - 16 > 0 \implies (x-4)(x+4) > 0$.
Решением является $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $((- \infty; -4) \cup (4; +\infty)) \cap (-6; 9)$.
Это дает объединение интервалов $(-6; -4)$ и $(4; 9)$.
Ответ: $x \in (-6; -4) \cup (4; 9)$.
в) $log_3(x^2 - 4) < log_3(44 - 2x)$
Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 4 < 44 - 2x \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 + 2x - 4 - 44 < 0$
$x^2 + 2x - 48 < 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-8; 6)$.
Решим второе неравенство (ОДЗ):
$x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0$.
Решением является $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $((- \infty; -2) \cup (2; +\infty)) \cap (-8; 6)$.
Пересечение дает нам два интервала: $(-8; -2)$ и $(2; 6)$.
Ответ: $x \in (-8; -2) \cup (2; 6)$.
г) $log_{0,5}(x^2 - 22) < log_{0,5}(3x + 18)$
Основание логарифма $0,5 \in (0; 1)$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 22 > 3x + 18 \\ 3x + 18 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 3x - 22 - 18 > 0$
$x^2 - 3x - 40 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = 8$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (8; +\infty)$.
Решим второе неравенство (ОДЗ):
$3x + 18 > 0 \implies 3x > -18 \implies x > -6$.
Решением является $x \in (-6; +\infty)$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -5) \cup (8; +\infty)) \cap (-6; +\infty)$.
Пересечение дает нам два интервала: $(-6; -5)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-6; -5) \cup (8; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.48 расположенного на странице 260 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.48 (с. 260), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.