Номер 9.47, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.47, страница 260.
№9.47 (с. 260)
Условие. №9.47 (с. 260)
скриншот условия

9.47* a) $\sqrt[8]{x^2+\sqrt{x}} \ge \sqrt[8]{5x-4+\sqrt{x}};$
B) $\sqrt[10]{x^2-\sqrt{x}} \ge \sqrt[10]{5x-4-\sqrt{x}};$
б) $\sqrt[6]{x^2+\sqrt{x}} \ge \sqrt[6]{3x-2+\sqrt{x}};$
Г) $\sqrt[12]{x^2-\sqrt{x}} \ge \sqrt[12]{3x-2-\sqrt{x}}.$
Решение 1. №9.47 (с. 260)




Решение 2. №9.47 (с. 260)



Решение 3. №9.47 (с. 260)

Решение 4. №9.47 (с. 260)
а)
Дано неравенство $\sqrt[8]{x^2 + \sqrt{x}} \geq \sqrt[8]{5x - 4 + \sqrt{x}}$.
Так как показатель корня (8) является четным числом, данное неравенство равносильно системе, в которой подкоренное выражение большего члена сравнивается с подкоренным выражением меньшего, и меньшее подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это гарантирует, что оба подкоренных выражения неотрицательны, а также что мы находимся в области определения возрастающей функции $y=\sqrt[8]{t}$.
Система неравенств:
1) $x^2 + \sqrt{x} \geq 5x - 4 + \sqrt{x}$
2) $5x - 4 + \sqrt{x} \geq 0$
Решим первое неравенство:
$x^2 \geq 5x - 4$
$x^2 - 5x + 4 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.
Решим второе неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Также учтем, что $x \geq 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.
$5x - 4 + \sqrt{x} \geq 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \geq 0$.
$5t^2 + t - 4 \geq 0$.
Корни уравнения $5t^2 + t - 4 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{4}{5}$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -1] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq \frac{4}{5}$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x} \geq \frac{4}{5}$, откуда $x \geq \frac{16}{25}$.
Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq \frac{16}{25}$.
Пересечением является множество $x \in [\frac{16}{25}, 1] \cup [4, +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{16}{25}, 1] \cup [4, +\infty)$.
б)
Дано неравенство $\sqrt[6]{x^2 + \sqrt{x}} \geq \sqrt[6]{3x - 2 + \sqrt{x}}$.
По аналогии с пунктом а), так как корень четной степени, неравенство равносильно системе:
1) $x^2 + \sqrt{x} \geq 3x - 2 + \sqrt{x}$
2) $3x - 2 + \sqrt{x} \geq 0$
Решим первое неравенство:
$x^2 \geq 3x - 2$
$x^2 - 3x + 2 \geq 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
Решим второе неравенство (ОДЗ), учитывая $x \geq 0$:
$3x - 2 + \sqrt{x} \geq 0$. Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.
$3t^2 + t - 2 \geq 0$.
Корни уравнения $3t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{2}{3}$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq \frac{2}{3}$.
Обратная замена: $\sqrt{x} \geq \frac{2}{3}$, откуда $x \geq \frac{4}{9}$.
Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq \frac{4}{9}$.
Пересечение: $x \in [\frac{4}{9}, 1] \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{4}{9}, 1] \cup [2, +\infty)$.
в)
Дано неравенство $\sqrt[10]{x^2 - \sqrt{x}} \geq \sqrt[10]{5x - 4 - \sqrt{x}}$.
Неравенство равносильно системе:
1) $x^2 - \sqrt{x} \geq 5x - 4 - \sqrt{x}$
2) $5x - 4 - \sqrt{x} \geq 0$
Также необходимо, чтобы и левое подкоренное выражение было неотрицательным: $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$.
Решим первое неравенство:
$x^2 \geq 5x - 4$
$x^2 - 5x + 4 \geq 0$
Это то же неравенство, что и в пункте а), его решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.
Теперь найдем ОДЗ, решив систему из двух других неравенств. Начнем со второго:
$5x - 4 - \sqrt{x} \geq 0$. Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.
$5t^2 - t - 4 \geq 0$.
Корни уравнения $5t^2 - t - 4 = 0$ равны $t_1 = -\frac{4}{5}$ и $t_2 = 1$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [1, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq 1$.
Обратная замена: $\sqrt{x} \geq 1$, откуда $x \geq 1$.
Проверим условие $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$ при $x \geq 1$.
$x^2 \geq \sqrt{x}$. Так как при $x \geq 1$ обе части положительны, можно возвести в квадрат: $x^4 \geq x \implies x^4 - x \geq 0 \implies x(x^3-1) \geq 0$. Это верно для $x \geq 1$.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \geq 1$.
Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq 1$.
Пересечение: $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.
г)
Дано неравенство $\sqrt[12]{x^2 - \sqrt{x}} \geq \sqrt[12]{3x - 2 - \sqrt{x}}$.
Неравенство равносильно системе:
1) $x^2 - \sqrt{x} \geq 3x - 2 - \sqrt{x}$
2) $3x - 2 - \sqrt{x} \geq 0$
3) $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$
Решим первое неравенство:
$x^2 \geq 3x - 2$
$x^2 - 3x + 2 \geq 0$
Это то же неравенство, что и в пункте б), его решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
Найдем ОДЗ. Решим неравенство $3x - 2 - \sqrt{x} \geq 0$.
Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.
$3t^2 - t - 2 \geq 0$.
Корни уравнения $3t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -\frac{2}{3}$ и $t_2 = 1$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [1, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq 1$.
Обратная замена: $\sqrt{x} \geq 1$, откуда $x \geq 1$.
Как мы видели в пункте в), условие $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$ также выполняется при $x \geq 1$.
Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \geq 1$.
Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq 1$.
Пересечение: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.47 расположенного на странице 260 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.47 (с. 260), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.