Номер 9.47, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.47, страница 260.

Условие.

9.47* a) $\sqrt[8]{x^2+\sqrt{x}} \ge \sqrt[8]{5x-4+\sqrt{x}};$

B) $\sqrt[10]{x^2-\sqrt{x}} \ge \sqrt[10]{5x-4-\sqrt{x}};$

б) $\sqrt[6]{x^2+\sqrt{x}} \ge \sqrt[6]{3x-2+\sqrt{x}};$

Г) $\sqrt[12]{x^2-\sqrt{x}} \ge \sqrt[12]{3x-2-\sqrt{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано неравенство $\sqrt[8]{x^2 + \sqrt{x}} \geq \sqrt[8]{5x - 4 + \sqrt{x}}$.

Так как показатель корня (8) является четным числом, данное неравенство равносильно системе, в которой подкоренное выражение большего члена сравнивается с подкоренным выражением меньшего, и меньшее подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это гарантирует, что оба подкоренных выражения неотрицательны, а также что мы находимся в области определения возрастающей функции $y=\sqrt[8]{t}$.

Система неравенств:

1) $x^2 + \sqrt{x} \geq 5x - 4 + \sqrt{x}$

2) $5x - 4 + \sqrt{x} \geq 0$

Решим первое неравенство:

$x^2 \geq 5x - 4$

$x^2 - 5x + 4 \geq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Также учтем, что $x \geq 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.

$5x - 4 + \sqrt{x} \geq 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \geq 0$.

$5t^2 + t - 4 \geq 0$.

Корни уравнения $5t^2 + t - 4 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{4}{5}$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -1] \cup [\frac{4}{5}, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq \frac{4}{5}$.

Выполним обратную замену: $\sqrt{x} \geq \frac{4}{5}$, откуда $x \geq \frac{16}{25}$.

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq \frac{16}{25}$.

Пересечением является множество $x \in [\frac{16}{25}, 1] \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{16}{25}, 1] \cup [4, +\infty)$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[6]{x^2 + \sqrt{x}} \geq \sqrt[6]{3x - 2 + \sqrt{x}}$.

По аналогии с пунктом а), так как корень четной степени, неравенство равносильно системе:

1) $x^2 + \sqrt{x} \geq 3x - 2 + \sqrt{x}$

2) $3x - 2 + \sqrt{x} \geq 0$

Решим первое неравенство:

$x^2 \geq 3x - 2$

$x^2 - 3x + 2 \geq 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Решим второе неравенство (ОДЗ), учитывая $x \geq 0$:

$3x - 2 + \sqrt{x} \geq 0$. Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.

$3t^2 + t - 2 \geq 0$.

Корни уравнения $3t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{2}{3}$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq \frac{2}{3}$.

Обратная замена: $\sqrt{x} \geq \frac{2}{3}$, откуда $x \geq \frac{4}{9}$.

Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq \frac{4}{9}$.

Пересечение: $x \in [\frac{4}{9}, 1] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{9}, 1] \cup [2, +\infty)$.

в)

Дано неравенство $\sqrt[10]{x^2 - \sqrt{x}} \geq \sqrt[10]{5x - 4 - \sqrt{x}}$.

Неравенство равносильно системе:

1) $x^2 - \sqrt{x} \geq 5x - 4 - \sqrt{x}$

2) $5x - 4 - \sqrt{x} \geq 0$

Также необходимо, чтобы и левое подкоренное выражение было неотрицательным: $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$.

Решим первое неравенство:

$x^2 \geq 5x - 4$

$x^2 - 5x + 4 \geq 0$

Это то же неравенство, что и в пункте а), его решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$.

Теперь найдем ОДЗ, решив систему из двух других неравенств. Начнем со второго:

$5x - 4 - \sqrt{x} \geq 0$. Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.

$5t^2 - t - 4 \geq 0$.

Корни уравнения $5t^2 - t - 4 = 0$ равны $t_1 = -\frac{4}{5}$ и $t_2 = 1$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [1, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq 1$.

Обратная замена: $\sqrt{x} \geq 1$, откуда $x \geq 1$.

Проверим условие $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$ при $x \geq 1$.

$x^2 \geq \sqrt{x}$. Так как при $x \geq 1$ обе части положительны, можно возвести в квадрат: $x^4 \geq x \implies x^4 - x \geq 0 \implies x(x^3-1) \geq 0$. Это верно для $x \geq 1$.

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \geq 1$.

Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq 1$.

Пересечение: $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [4, +\infty)$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[12]{x^2 - \sqrt{x}} \geq \sqrt[12]{3x - 2 - \sqrt{x}}$.

Неравенство равносильно системе:

1) $x^2 - \sqrt{x} \geq 3x - 2 - \sqrt{x}$

2) $3x - 2 - \sqrt{x} \geq 0$

3) $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$

Решим первое неравенство:

$x^2 \geq 3x - 2$

$x^2 - 3x + 2 \geq 0$

Это то же неравенство, что и в пункте б), его решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Найдем ОДЗ. Решим неравенство $3x - 2 - \sqrt{x} \geq 0$.

Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$.

$3t^2 - t - 2 \geq 0$.

Корни уравнения $3t^2 - t - 2 = 0$ равны $t_1 = -\frac{2}{3}$ и $t_2 = 1$. Решение неравенства $t \in (-\infty, -\frac{2}{3}] \cup [1, +\infty)$. С учетом $t \geq 0$, получаем $t \geq 1$.

Обратная замена: $\sqrt{x} \geq 1$, откуда $x \geq 1$.

Как мы видели в пункте в), условие $x^2 - \sqrt{x} \geq 0$ также выполняется при $x \geq 1$.

Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \geq 1$.

Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \geq 1$.

Пересечение: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, +\infty)$.