Номер 9.46, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.46, страница 260.

Условие.

9.46 а) $ \sqrt[4]{x^2 - 11x + 31} > \sqrt[4]{x - 4}; $

Б) $ \sqrt[10]{x^2 - 9} > \sqrt[10]{9x + 1}; $

В) $ \sqrt[8]{x^2 - 36} > \sqrt[8]{5x}; $

Г) $ \sqrt[4]{x + 19} > \sqrt[4]{49 - x^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[4]{x^2 - 11x + 31} > \sqrt[4]{x - 4}$

Данное иррациональное неравенство с четным показателем корня (4) равносильно системе неравенств, где подкоренное выражение в правой части должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в левой части должно быть строго больше подкоренного выражения в правой:

$ \begin{cases} x^2 - 11x + 31 > x - 4 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} $

Заметим, что условие $x^2 - 11x + 31 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из первого неравенства системы следует, что левая часть больше правой, а правая, в свою очередь, неотрицательна.

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 11x - x + 31 + 4 > 0$

$x^2 - 12x + 35 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 35$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 12x + 35 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$ и $[4; +\infty)$.

Пересечением является объединение интервалов $[4; 5)$ и $(7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [4; 5) \cup (7; +\infty)$.

б) $\sqrt[10]{x^2 - 9} > \sqrt[10]{9x + 1}$

Показатель корня (10) — четное число. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 9 > 9x + 1 \\ 9x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 9x - 10 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10$ и $x_2 = -1$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (10; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$9x + 1 \ge 0$

$9x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{9}$

Найдем пересечение решений: $(-\infty; -1) \cup (10; +\infty)$ и $[-\frac{1}{9}; +\infty)$.

Так как $-\frac{1}{9} > -1$, пересечение первого интервала $(-\infty; -1)$ с $[-\frac{1}{9}; +\infty)$ пусто. Пересечением второго интервала $(10; +\infty)$ с $[-\frac{1}{9}; +\infty)$ является сам интервал $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (10; +\infty)$.

в) $\sqrt[8]{x^2 - 36} > \sqrt[8]{5x}$

Показатель корня (8) — четное число. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 36 > 5x \\ 5x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 5x - 36 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 36$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (9; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$5x \ge 0$

$x \ge 0$

Найдем пересечение решений: $(-\infty; -4) \cup (9; +\infty)$ и $[0; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; -4)$ с $[0; +\infty)$ пусто. Пересечением интервала $(9; +\infty)$ с $[0; +\infty)$ является интервал $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$.

г) $\sqrt[4]{x + 19} > \sqrt[4]{49 - x^2}$

Показатель корня (4) — четное число. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x + 19 > 49 - x^2 \\ 49 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 + x + 19 - 49 > 0$

$x^2 + x - 30 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 30$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$49 - x^2 \ge 0$

$x^2 - 49 \le 0$

$(x - 7)(x + 7) \le 0$

Ветви параболы $y = x^2 - 49$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-7; 7]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -6) \cup (5; +\infty))$ и $[-7; 7]$.

Пересечение $(-\infty; -6)$ с $[-7; 7]$ дает $[-7; -6)$.

Пересечение $(5; +\infty)$ с $[-7; 7]$ дает $(5; 7]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-7; -6) \cup (5; 7]$.