Номер 9.46, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.46, страница 260.
№9.46 (с. 260)
Условие. №9.46 (с. 260)
скриншот условия

9.46 а) $ \sqrt[4]{x^2 - 11x + 31} > \sqrt[4]{x - 4}; $
Б) $ \sqrt[10]{x^2 - 9} > \sqrt[10]{9x + 1}; $
В) $ \sqrt[8]{x^2 - 36} > \sqrt[8]{5x}; $
Г) $ \sqrt[4]{x + 19} > \sqrt[4]{49 - x^2}. $
Решение 1. №9.46 (с. 260)




Решение 2. №9.46 (с. 260)


Решение 4. №9.46 (с. 260)
а) $\sqrt[4]{x^2 - 11x + 31} > \sqrt[4]{x - 4}$
Данное иррациональное неравенство с четным показателем корня (4) равносильно системе неравенств, где подкоренное выражение в правой части должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в левой части должно быть строго больше подкоренного выражения в правой:
$ \begin{cases} x^2 - 11x + 31 > x - 4 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} $
Заметим, что условие $x^2 - 11x + 31 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из первого неравенства системы следует, что левая часть больше правой, а правая, в свою очередь, неотрицательна.
Решим первое неравенство системы:
$x^2 - 11x - x + 31 + 4 > 0$
$x^2 - 12x + 35 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 12x + 35$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 12x + 35 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$.
Решим второе неравенство системы:
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; 5) \cup (7; +\infty)$ и $[4; +\infty)$.
Пересечением является объединение интервалов $[4; 5)$ и $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in [4; 5) \cup (7; +\infty)$.
б) $\sqrt[10]{x^2 - 9} > \sqrt[10]{9x + 1}$
Показатель корня (10) — четное число. Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 9 > 9x + 1 \\ 9x + 1 \ge 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$x^2 - 9x - 10 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10$ и $x_2 = -1$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (10; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$9x + 1 \ge 0$
$9x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{9}$
Найдем пересечение решений: $(-\infty; -1) \cup (10; +\infty)$ и $[-\frac{1}{9}; +\infty)$.
Так как $-\frac{1}{9} > -1$, пересечение первого интервала $(-\infty; -1)$ с $[-\frac{1}{9}; +\infty)$ пусто. Пересечением второго интервала $(10; +\infty)$ с $[-\frac{1}{9}; +\infty)$ является сам интервал $(10; +\infty)$.
Ответ: $x \in (10; +\infty)$.
в) $\sqrt[8]{x^2 - 36} > \sqrt[8]{5x}$
Показатель корня (8) — четное число. Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 36 > 5x \\ 5x \ge 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$x^2 - 5x - 36 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 36$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -4) \cup (9; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$5x \ge 0$
$x \ge 0$
Найдем пересечение решений: $(-\infty; -4) \cup (9; +\infty)$ и $[0; +\infty)$.
Пересечение интервала $(-\infty; -4)$ с $[0; +\infty)$ пусто. Пересечением интервала $(9; +\infty)$ с $[0; +\infty)$ является интервал $(9; +\infty)$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$.
г) $\sqrt[4]{x + 19} > \sqrt[4]{49 - x^2}$
Показатель корня (4) — четное число. Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x + 19 > 49 - x^2 \\ 49 - x^2 \ge 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$x^2 + x + 19 - 49 > 0$
$x^2 + x - 30 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 30$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (5; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$49 - x^2 \ge 0$
$x^2 - 49 \le 0$
$(x - 7)(x + 7) \le 0$
Ветви параболы $y = x^2 - 49$ направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-7; 7]$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -6) \cup (5; +\infty))$ и $[-7; 7]$.
Пересечение $(-\infty; -6)$ с $[-7; 7]$ дает $[-7; -6)$.
Пересечение $(5; +\infty)$ с $[-7; 7]$ дает $(5; 7]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in [-7; -6) \cup (5; 7]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.46 расположенного на странице 260 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.46 (с. 260), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.