Номер 9.42, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.42, страница 256.

Условие.

9.42* а) $e^{x^2 - 4x + 5} + \sqrt[3]{x^2 - 4x + 5} = e^{2x^2 - 3x + 7} + \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 7};$

б) $\pi^{x^2 + 1000} + \sqrt[9]{x^2 + 1000} = \pi^{2002x - 1001} + \sqrt[9]{2002x - 1001};$

В) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sin x} - \sqrt[5]{\sin x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\cos x} - \sqrt[5]{\cos x};$

Г) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\sin^2 x} - (\sin x)^{4002}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение $e^{x^2 - 4x + 5} + \sqrt[3]{x^2 - 4x + 5} = e^{2x^2 - 3x + 7} + \sqrt[3]{2x^2 - 3x + 7}$ имеет вид $f(u) = f(v)$, где $u = x^2 - 4x + 5$, $v = 2x^2 - 3x + 7$ и функция $f(t) = e^t + \sqrt[3]{t}$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(t) = (e^t + t^{1/3})' = e^t + \frac{1}{3}t^{-2/3} = e^t + \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}$.
Для любого действительного $t \ne 0$ имеем $e^t > 0$ и $\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} > 0$. Следовательно, $f'(t) > 0$ при $t \ne 0$.Функция $f(t)$ непрерывна на всей числовой оси, а ее производная положительна везде, где определена. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Для строго монотонной функции равенство $f(u) = f(v)$ равносильно равенству $u = v$.Таким образом, исходное уравнение равносильно следующему:
$x^2 - 4x + 5 = 2x^2 - 3x + 7$
$x^2 + x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных решений.

б) Исходное уравнение $\pi^{x^2 + 1000} + \sqrt[9]{x^2 + 1000} = \pi^{2002x - 1001} + \sqrt[9]{2002x - 1001}$ имеет вид $f(u) = f(v)$, где $u = x^2 + 1000$, $v = 2002x - 1001$ и функция $f(t) = \pi^t + \sqrt[9]{t}$.
Исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Ее производная:
$f'(t) = (\pi^t + t^{1/9})' = \pi^t \ln(\pi) + \frac{1}{9}t^{-8/9} = \pi^t \ln(\pi) + \frac{1}{9\sqrt[9]{t^8}}$.
Так как $\pi \approx 3.14 > 1$, то $\ln(\pi) > 0$, и, следовательно, $\pi^t \ln(\pi) > 0$ для любого $t$. Выражение $\frac{1}{9\sqrt[9]{t^8}}$ положительно для всех $t \ne 0$.Таким образом, $f'(t) > 0$ для всех $t \ne 0$, и, так как функция $f(t)$ непрерывна, она является строго возрастающей на $\mathbb{R}$.
Из равенства $f(u) = f(v)$ следует $u = v$:
$x^2 + 1000 = 2002x - 1001$
$x^2 - 2002x + 2001 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2002, а произведение равно 2001. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2001$.
Ответ: 1; 2001.

в) Исходное уравнение $(\frac{1}{2})^{\sin x} - \sqrt[5]{\sin x} = (\frac{1}{2})^{\cos x} - \sqrt[5]{\cos x}$ имеет вид $f(\sin x) = f(\cos x)$, где функция $f(t) = (\frac{1}{2})^t - \sqrt[5]{t}$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем производную:
$f'(t) = ((\frac{1}{2})^t - t^{1/5})' = (\frac{1}{2})^t \ln(\frac{1}{2}) - \frac{1}{5}t^{-4/5} = -(\ln 2)(\frac{1}{2})^t - \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$.
Первое слагаемое $-(\ln 2)(\frac{1}{2})^t$ всегда отрицательно. Второе слагаемое $-\frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$ также отрицательно для всех $t \ne 0$.Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t \ne 0$. Функция $f(t)$ является непрерывной и строго убывающей на всей числовой прямой.
Для строго монотонной функции равенство $f(u) = f(v)$ равносильно $u=v$. В нашем случае это означает:
$\sin x = \cos x$
Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению. Значит $\cos x \ne 0$, и можно разделить обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \implies \tan x = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение $(\frac{1}{3})^{\sin x} - (\sin x)^{2001} = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x} - (\sin x)^{4002}$.
Заметим, что $(\sin x)^{4002} = ((\sin x)^2)^{2001}$. Обозначим $y = \sin x$, тогда $\sin^2 x = y^2$. Уравнение примет вид:
$(\frac{1}{3})^y - y^{2001} = (\frac{1}{3})^{y^2} - (y^2)^{2001}$.
Это уравнение вида $f(y) = f(y^2)$, где функция $f(t) = (\frac{1}{3})^t - t^{2001}$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Ее производная:
$f'(t) = ((\frac{1}{3})^t - t^{2001})' = (\frac{1}{3})^t \ln(\frac{1}{3}) - 2001 t^{2000} = -(\ln 3)(\frac{1}{3})^t - 2001 t^{2000}$.
Первое слагаемое $-(\ln 3)(\frac{1}{3})^t$ всегда отрицательно. Второе слагаемое $-2001 t^{2000}$ неположительно ($ \le 0$). Их сумма всегда отрицательна. Таким образом, $f'(t) < 0$ для всех $t \in \mathbb{R}$.
Функция $f(t)$ является строго убывающей. Следовательно, равенство $f(y) = f(y^2)$ возможно только при $y = y^2$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$\sin x = (\sin x)^2$
$\sin x (1 - \sin x) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.