Номер 9.49, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.49, страница 260.

Условие.

9.49 a) $\log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x};$

б) $\log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < \log_2(x - 2) + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано неравенство: $log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x}$.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Для логарифма $log_2(x - 2)$ аргумент должен быть строго больше нуля:

$x - 2 > 0 \implies x > 2$.

Для квадратного корня $\sqrt{3 - x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

Объединяя оба условия в систему, получаем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 2 \\ x \le 3 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (2, 3]$.

2. Упростим исходное неравенство. Заметим, что слагаемое $\sqrt{3 - x}$ присутствует в обеих частях неравенства. Мы можем вычесть его из обеих частей:

$log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x}$

$log_2(x - 2) < 3$.

3. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим число 3 в виде логарифма с основанием 2:

$3 = log_2(2^3) = log_2(8)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$log_2(x - 2) < log_2(8)$.

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для аргументов сохраняется тот же знак неравенства:

$x - 2 < 8$

$x < 10$.

4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x < 10$ и $x \in (2, 3]$.

$\begin{cases} x < 10 \\ 2 < x \le 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(2, 3]$.

Ответ: $x \in (2, 3]$.

б)

Дано неравенство: $log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < log_2(x - 2) + 2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства такая же, как и в пункте а), так как оно содержит те же функции $log_2(x - 2)$ и $\sqrt{3 - x}$.

ОДЗ: $x \in (2, 3]$.

2. Упростим неравенство. Слагаемое $log_2(x - 2)$ есть в обеих частях. Вычтем его из обеих частей:

$log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} - log_2(x - 2) < log_2(x - 2) + 2 - log_2(x - 2)$

$\sqrt{3 - x} < 2$.

3. Решим полученное иррациональное неравенство. Обе части неравенства неотрицательны (левая часть по определению корня, правая — положительное число). Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{3 - x})^2 < 2^2$

$3 - x < 4$.

Решим это линейное неравенство:

$-x < 4 - 3$

$-x < 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > -1$.

4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Найдем пересечение множеств $x > -1$ и $x \in (2, 3]$.

$\begin{cases} x > -1 \\ 2 < x \le 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(2, 3]$.

Ответ: $x \in (2, 3]$.