Номер 9.49, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.49, страница 260.
№9.49 (с. 260)
Условие. №9.49 (с. 260)
скриншот условия

9.49 a) $\log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x};$
б) $\log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < \log_2(x - 2) + 2.$
Решение 1. №9.49 (с. 260)


Решение 2. №9.49 (с. 260)

Решение 4. №9.49 (с. 260)
а)
Дано неравенство: $log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x}$.
1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Для логарифма $log_2(x - 2)$ аргумент должен быть строго больше нуля:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
Для квадратного корня $\sqrt{3 - x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.
Объединяя оба условия в систему, получаем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x \le 3 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in (2, 3]$.
2. Упростим исходное неравенство. Заметим, что слагаемое $\sqrt{3 - x}$ присутствует в обеих частях неравенства. Мы можем вычесть его из обеих частей:
$log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x} < 3 + \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 - x}$
$log_2(x - 2) < 3$.
3. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим число 3 в виде логарифма с основанием 2:
$3 = log_2(2^3) = log_2(8)$.
Теперь неравенство имеет вид:
$log_2(x - 2) < log_2(8)$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для аргументов сохраняется тот же знак неравенства:
$x - 2 < 8$
$x < 10$.
4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x < 10$ и $x \in (2, 3]$.
$\begin{cases} x < 10 \\ 2 < x \le 3 \end{cases}$
Решением системы является интервал $(2, 3]$.
Ответ: $x \in (2, 3]$.
б)
Дано неравенство: $log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} < log_2(x - 2) + 2$.
1. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства такая же, как и в пункте а), так как оно содержит те же функции $log_2(x - 2)$ и $\sqrt{3 - x}$.
ОДЗ: $x \in (2, 3]$.
2. Упростим неравенство. Слагаемое $log_2(x - 2)$ есть в обеих частях. Вычтем его из обеих частей:
$log_2(x - 2) + \sqrt{3 - x} - log_2(x - 2) < log_2(x - 2) + 2 - log_2(x - 2)$
$\sqrt{3 - x} < 2$.
3. Решим полученное иррациональное неравенство. Обе части неравенства неотрицательны (левая часть по определению корня, правая — положительное число). Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{3 - x})^2 < 2^2$
$3 - x < 4$.
Решим это линейное неравенство:
$-x < 4 - 3$
$-x < 1$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x > -1$.
4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Найдем пересечение множеств $x > -1$ и $x \in (2, 3]$.
$\begin{cases} x > -1 \\ 2 < x \le 3 \end{cases}$
Решением системы является интервал $(2, 3]$.
Ответ: $x \in (2, 3]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.49 расположенного на странице 260 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.49 (с. 260), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.