Номер 9.56, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.56, страница 262.

Условие.

9.56 a) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-3}{3^{x}-3}<0;$

б) $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}-4}{2^{x}-16}<0;$

В) $\frac{2^{x}-8}{\lg x}>0;$

Г) $\frac{2^{x}-\frac{1}{2}}{\lg (3-x)}<0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $ \frac{(\frac{1}{3})^x - 3}{3^x - 3} < 0 $.

Сначала преобразуем числитель: $ (\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x} $. Неравенство принимает вид:

$ \frac{3^{-x} - 3}{3^x - 3} < 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $. Так как показательная функция всегда положительна, то $ t > 0 $. Тогда $ 3^{-x} = \frac{1}{3^x} = \frac{1}{t} $.

Подставим $ t $ в неравенство:

$ \frac{\frac{1}{t} - 3}{t - 3} < 0 $

Приведем числитель к общему знаменателю:

$ \frac{\frac{1 - 3t}{t}}{t - 3} < 0 $

$ \frac{1 - 3t}{t(t - 3)} < 0 $

Так как мы знаем, что $ t > 0 $, то знак знаменателя $ t(t - 3) $ совпадает со знаком выражения $ (t - 3) $. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$ \frac{1 - 3t}{t - 3} < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $ t $. Найдем нули числителя и знаменателя:

$ 1 - 3t = 0 \implies t = \frac{1}{3} $

$ t - 3 = 0 \implies t = 3 $

Отметим эти точки на числовой прямой для $ t $, учитывая, что $ t > 0 $. Получим интервалы $ (0, \frac{1}{3}) $, $ (\frac{1}{3}, 3) $ и $ (3, +\infty) $.

• При $ t \in (0, \frac{1}{3}) $: выражение $ \frac{1 - 3t}{t - 3} $ имеет знаки $ \frac{+}{-} $, то есть отрицательно. Интервал подходит.
• При $ t \in (\frac{1}{3}, 3) $: выражение $ \frac{1 - 3t}{t - 3} $ имеет знаки $ \frac{-}{-} $, то есть положительно. Интервал не подходит.
• При $ t \in (3, +\infty) $: выражение $ \frac{1 - 3t}{t - 3} $ имеет знаки $ \frac{-}{+} $, то есть отрицательно. Интервал подходит.

Таким образом, решение для $ t $: $ 0 < t < \frac{1}{3} $ или $ t > 3 $.

Вернемся к переменной $ x $, сделав обратную замену $ t = 3^x $:

1) $ 3^x < \frac{1}{3} \implies 3^x < 3^{-1} $. Так как основание степени $ 3 > 1 $, то показательная функция возрастает, значит, $ x < -1 $.

2) $ 3^x > 3 \implies 3^x > 3^1 $. Так как основание степени $ 3 > 1 $, то $ x > 1 $.

Объединяя решения, получаем $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $

б) Решим неравенство $ \frac{(\frac{1}{2})^x - 4}{2^x - 16} < 0 $.

Преобразуем числитель: $ (\frac{1}{2})^x = 2^{-x} $. Неравенство принимает вид:

$ \frac{2^{-x} - 4}{2^x - 16} < 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Тогда $ t > 0 $ и $ 2^{-x} = \frac{1}{t} $.

Подставим $ t $ в неравенство:

$ \frac{\frac{1}{t} - 4}{t - 16} < 0 $

$ \frac{\frac{1 - 4t}{t}}{t - 16} < 0 $

$ \frac{1 - 4t}{t(t - 16)} < 0 $

Так как $ t > 0 $, неравенство равносильно $ \frac{1 - 4t}{t - 16} < 0 $.

Решим методом интервалов для $ t $. Нули числителя и знаменателя:

$ 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4} $

$ t - 16 = 0 \implies t = 16 $

Интервалы для $ t > 0 $: $ (0, \frac{1}{4}) $, $ (\frac{1}{4}, 16) $ и $ (16, +\infty) $.

• При $ t \in (0, \frac{1}{4}) $: $ \frac{1 - 4t}{t - 16} \implies \frac{+}{-} < 0 $. Подходит.
• При $ t \in (\frac{1}{4}, 16) $: $ \frac{1 - 4t}{t - 16} \implies \frac{-}{-} > 0 $. Не подходит.
• При $ t \in (16, +\infty) $: $ \frac{1 - 4t}{t - 16} \implies \frac{-}{+} < 0 $. Подходит.

Решение для $ t $: $ 0 < t < \frac{1}{4} $ или $ t > 16 $.

Вернемся к $ x $, сделав обратную замену $ t = 2^x $:

1) $ 2^x < \frac{1}{4} \implies 2^x < 2^{-2} $. Так как основание $ 2 > 1 $, то $ x < -2 $.

2) $ 2^x > 16 \implies 2^x > 2^4 $. Так как основание $ 2 > 1 $, то $ x > 4 $.

Объединяя решения, получаем $ x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) $

в) Решим неравенство $ \frac{2^x - 8}{\lg x} > 0 $.

Данное неравенство решим методом интервалов. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \lg x \neq 0 \implies x \neq 10^0 \implies x \neq 1 $.

ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $ 2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3 $.

Нуль знаменателя: $ \lg x = 0 \implies x = 1 $.

Отметим точки $ 1 $ и $ 3 $ на числовой прямой и, с учетом ОДЗ, рассмотрим интервалы $ (0, 1) $, $ (1, 3) $, $ (3, +\infty) $.

• Интервал $ (0, 1) $: Возьмем $ x = 0.1 $. Числитель $ 2^{0.1} - 8 < 0 $. Знаменатель $ \lg(0.1) < 0 $. Дробь $ \frac{-}{-} > 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ (1, 3) $: Возьмем $ x = 2 $. Числитель $ 2^2 - 8 = -4 < 0 $. Знаменатель $ \lg(2) > 0 $. Дробь $ \frac{-}{+} < 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ (3, +\infty) $: Возьмем $ x = 10 $. Числитель $ 2^{10} - 8 > 0 $. Знаменатель $ \lg(10) = 1 > 0 $. Дробь $ \frac{+}{+} > 0 $. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $ (0, 1) \cup (3, +\infty) $

г) Решим неравенство $ \frac{2^x - \frac{1}{2}}{\lg(3 - x)} < 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ 3 - x > 0 \implies x < 3 $.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \lg(3 - x) \neq 0 \implies 3 - x \neq 1 \implies x \neq 2 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) $.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $ 2^x - \frac{1}{2} = 0 \implies 2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 $.

Нуль знаменателя: $ \lg(3 - x) = 0 \implies 3 - x = 1 \implies x = 2 $.

Отметим точки $ -1 $ и $ 2 $ на числовой прямой и, с учетом ОДЗ, рассмотрим интервалы $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 2) $, $ (2, 3) $.

• Интервал $ (-\infty, -1) $: Возьмем $ x = -2 $. Числитель $ 2^{-2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} < 0 $. Знаменатель $ \lg(3 - (-2)) = \lg(5) > 0 $. Дробь $ \frac{-}{+} < 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ (-1, 2) $: Возьмем $ x = 0 $. Числитель $ 2^0 - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} > 0 $. Знаменатель $ \lg(3 - 0) = \lg(3) > 0 $. Дробь $ \frac{+}{+} > 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ (2, 3) $: Возьмем $ x = 2.5 $. Числитель $ 2^{2.5} - \frac{1}{2} > 0 $. Знаменатель $ \lg(3 - 2.5) = \lg(0.5) < 0 $. Дробь $ \frac{+}{-} < 0 $. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение.

Ответ: $ (-\infty, -1) \cup (2, 3) $