Номер 9.63, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.63, страница 263.

Условие.

9.63* a) $log_{2|x|} (x^2 - 10x + 21) \le log_{2|x|} 5;$

б) $log_{2|x|} (x^2 - 13x + 36) \le log_{2|x|} 6;$

в) $log_{|x|} (x^2 + 25) \le 2 + log_{|x|} 226;$

г) $log_{|x|} (x^2 + 361) \le 2 + log_{|x|} 362.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{2|x|}(x^2 - 10x + 21) \le \log_{2|x|} 5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 - 10x + 21 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (7, \infty)$.
2. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $2|x| > 0$ и $2|x| \neq 1$. Отсюда $x \neq 0$ и $|x| \neq 1/2$, то есть $x \neq \pm 1/2$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (0, 1/2) \cup (1/2, 3) \cup (7, \infty)$.

Решение неравенства зависит от значения основания. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание $2|x| > 1$, то есть $|x| > 1/2$. Это соответствует $x \in (-\infty, -1/2) \cup (1/2, \infty)$.
В этом случае логарифмическая функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 10x + 21 \le 5$
$x^2 - 10x + 16 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 10x + 16 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$. Неравенство выполняется между корнями: $x \in [2, 8]$.
Найдем пересечение этого решения с условиями данного случая и ОДЗ: $[2, 8] \cap ((-\infty, 3) \cup (7, \infty))$. Получаем $x \in [2, 3) \cup (7, 8]$.

Случай 2: Основание $0 < 2|x| < 1$, то есть $0 < |x| < 1/2$. Это соответствует $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$.
В этом случае логарифмическая функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 10x + 21 \ge 5$
$x^2 - 10x + 16 \ge 0$
Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$. Неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, 2] \cup [8, \infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием данного случая: $(x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)) \cap (x \in (-\infty, 2] \cup [8, \infty))$. Получаем $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2) \cup [2, 3) \cup (7, 8]$.

б) $\log_{2|x|}(x^2 - 13x + 36) \le \log_{2|x|} 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $x^2 - 13x + 36 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 13x + 36 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)$.
2. Основание $2|x| > 0$ и $2|x| \neq 1$, что дает $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1/2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (0, 1/2) \cup (1/2, 4) \cup (9, \infty)$.

Случай 1: Основание $2|x| > 1$, то есть $|x| > 1/2$.
Знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 13x + 36 \le 6$
$x^2 - 13x + 30 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 13x + 30 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 10$. Неравенство выполняется при $x \in [3, 10]$.
Пересекаем с ОДЗ для этого случая $((-\infty, 4) \cup (9, \infty))$: $[3, 10] \cap ((-\infty, 4) \cup (9, \infty))$. Получаем $x \in [3, 4) \cup (9, 10]$.

Случай 2: Основание $0 < 2|x| < 1$, то есть $0 < |x| < 1/2$.
Знак неравенства меняется:
$x^2 - 13x + 36 \ge 6$
$x^2 - 13x + 30 \ge 0$
Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3] \cup [10, \infty)$.
Пересекаем с условием случая $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$. Весь этот интервал входит в $(-\infty, 3]$, поэтому решение для этого случая $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2) \cup [3, 4) \cup (9, 10]$.

в) $\log_{|x|}(x^2 + 25) \le 2 + \log_{|x|} 226$

Преобразуем неравенство:
$\log_{|x|}(x^2 + 25) - \log_{|x|} 226 \le 2$
$\log_{|x|} \left(\frac{x^2 + 25}{226}\right) \le 2$
ОДЗ: основание $|x| > 0$ и $|x| \neq 1$. То есть $x \neq 0, x \neq \pm 1$. Аргумент $x^2+25$ всегда положителен.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Случай 1: Основание $|x| > 1$, то есть $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Функция возрастающая. Представим $2$ как $\log_{|x|}(|x|^2)$:
$\log_{|x|} \left(\frac{x^2 + 25}{226}\right) \le \log_{|x|}(|x|^2)$
$\frac{x^2 + 25}{226} \le |x|^2 = x^2$
$x^2 + 25 \le 226x^2$
$225x^2 \ge 25 \implies x^2 \ge \frac{1}{9} \implies |x| \ge \frac{1}{3}$.
Пересечение $|x| \ge 1/3$ и $|x| > 1$ дает $|x| > 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Случай 2: Основание $0 < |x| < 1$, то есть $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.
Функция убывающая, знак неравенства меняется:
$\frac{x^2 + 25}{226} \ge |x|^2 = x^2$
$x^2 + 25 \ge 226x^2$
$225x^2 \le 25 \implies x^2 \le \frac{1}{9} \implies |x| \le \frac{1}{3}$.
Пересечение $|x| \le 1/3$ и $0 < |x| < 1$ дает $0 < |x| \le 1/3$. Решение: $x \in [-1/3, 0) \cup (0, 1/3]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [-1/3, 0) \cup (0, 1/3] \cup (1, \infty)$.

г) $\log_{|x|}(x^2 + 361) \le 2 + \log_{|x|} 362$

Преобразуем неравенство:
$\log_{|x|} \left(\frac{x^2 + 361}{362}\right) \le 2$
ОДЗ: $|x| > 0$ и $|x| \neq 1$, то есть $x \neq 0, x \neq \pm 1$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Случай 1: Основание $|x| > 1$, то есть $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$\frac{x^2 + 361}{362} \le |x|^2 = x^2$
$x^2 + 361 \le 362x^2$
$361x^2 \ge 361 \implies x^2 \ge 1 \implies |x| \ge 1$.
Пересечение $|x| \ge 1$ и $|x| > 1$ дает $|x| > 1$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Случай 2: Основание $0 < |x| < 1$, то есть $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.
$\frac{x^2 + 361}{362} \ge |x|^2 = x^2$
$x^2 + 361 \ge 362x^2$
$361x^2 \le 361 \implies x^2 \le 1 \implies |x| \le 1$.
Пересечение $|x| \le 1$ и $0 < |x| < 1$ дает $0 < |x| < 1$. Решение: $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев ($(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $(-1, 0) \cup (0, 1)$), получаем все значения из ОДЗ.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.