Номер 9.69, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.69, страница 265.

Условие.

9.69 Докажите, что равносильны неравенства:

a) $\arctg f(x) > \arctg g(x)$ и $f(x) > g(x)$;

б)

$\arcctg f(x) > \arcctg g(x)$ и $f(x) < g(x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для доказательства равносильности неравенств $arctg f(x) > arctg g(x)$ и $f(x) > g(x)$ необходимо установить, что выполнение одного неравенства влечет за собой выполнение другого, и наоборот.

Ключевым свойством для этого доказательства является то, что функция $y = arctg(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть для всех $t \in (-\infty; +\infty)$.

1. Докажем, что из $f(x) > g(x)$ следует $arctg f(x) > arctg g(x)$.
Пусть дано неравенство $f(x) > g(x)$. Поскольку функция $y = arctg(t)$ является строго возрастающей, то для любых двух аргументов $t_1$ и $t_2$ из того, что $t_1 > t_2$, следует $arctg(t_1) > arctg(t_2)$. Применив это свойство к нашему неравенству, где $t_1 = f(x)$ и $t_2 = g(x)$, мы получаем $arctg f(x) > arctg g(x)$.

2. Докажем, что из $arctg f(x) > arctg g(x)$ следует $f(x) > g(x)$.
Пусть дано неравенство $arctg f(x) > arctg g(x)$. Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = tg(u)$ является строго возрастающей. Применим функцию тангенса к обеим частям неравенства. Так как тангенс возрастает на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, знак неравенства сохранится:
$tg(arctg f(x)) > tg(arctg g(x))$.
Используя основное тождество $tg(arctg(t)) = t$, получаем:
$f(x) > g(x)$.

Так как мы доказали следование в обе стороны, неравенства являются равносильными.

Ответ: Неравенства $arctg f(x) > arctg g(x)$ и $f(x) > g(x)$ равносильны, поскольку функция $y = arctg(t)$ строго возрастает на всей числовой прямой.

б) Для доказательства равносильности неравенств $arcctg f(x) > arcctg g(x)$ и $f(x) < g(x)$ необходимо, как и в предыдущем пункте, установить двустороннее следование.

Ключевым свойством здесь является то, что функция $y = arcctg(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть для всех $t \in (-\infty; +\infty)$.

1. Докажем, что из $f(x) < g(x)$ следует $arcctg f(x) > arcctg g(x)$.
Пусть дано неравенство $f(x) < g(x)$. Поскольку функция $y = arcctg(t)$ является строго убывающей, то для любых двух аргументов $t_1$ и $t_2$ из того, что $t_1 < t_2$, следует $arcctg(t_1) > arcctg(t_2)$. Применив это свойство к нашему неравенству, где $t_1 = f(x)$ и $t_2 = g(x)$, мы получаем $arcctg f(x) > arcctg g(x)$. При применении убывающей функции знак неравенства меняется на противоположный.

2. Докажем, что из $arcctg f(x) > arcctg g(x)$ следует $f(x) < g(x)$.
Пусть дано неравенство $arcctg f(x) > arcctg g(x)$. Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. На этом интервале функция $y = ctg(u)$ является строго убывающей. Применим функцию котангенса к обеим частям неравенства. Так как котангенс убывает на $(0; \pi)$, знак неравенства изменится на противоположный:
$ctg(arcctg f(x)) < ctg(arcctg g(x))$.
Используя основное тождество $ctg(arcctg(t)) = t$, получаем:
$f(x) < g(x)$.

Так как мы доказали следование в обе стороны, неравенства являются равносильными.

Ответ: Неравенства $arcctg f(x) > arcctg g(x)$ и $f(x) < g(x)$ равносильны, поскольку функция $y = arcctg(t)$ строго убывает на всей числовой прямой.