Номер 9.62, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.62, страница 263.

Условие.

9.62* a) $\log_x (9x + 1) < \log_x |10x - 1|$;

б) $\log_x (12x + 1) < \log_x |13x - 1|$;

в) $\log_x (6x + 1) < \log_x |7x - 1|$;

г) $\log_x (17x + 1) < \log_x |18x - 1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\log_x(9x + 1) < \log_x |10x - 1|$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ 9x + 1 > 0 \\ |10x - 1| > 0 \end{cases}$
Из этой системы получаем:
$\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ x > -1/9 \\ x \neq 1/10 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in (0; 1/10) \cup (1/10; 1) \cup (1; +\infty)$.
Рассмотрим два случая для основания логарифма $x$.

1. Если $x > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$9x + 1 < |10x - 1|$.
Так как $x > 1$, то $10x - 1 > 0$, и $|10x - 1| = 10x - 1$.
$9x + 1 < 10x - 1 \implies 2 < x$.
Решение для этого случая, с учетом $x > 1$, есть $x \in (2; +\infty)$.

2. Если $0 < x < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$9x + 1 > |10x - 1|$.
Раскроем модуль, учитывая знак выражения $10x - 1$, который меняется в точке $x = 1/10$.
а) При $0 < x < 1/10$, имеем $10x - 1 < 0$, поэтому $|10x - 1| = 1 - 10x$.
$9x + 1 > 1 - 10x \implies 19x > 0 \implies x > 0$.
Пересекая с условием $0 < x < 1/10$, получаем решение $x \in (0; 1/10)$.
б) При $1/10 < x < 1$, имеем $10x - 1 > 0$, поэтому $|10x - 1| = 10x - 1$.
$9x + 1 > 10x - 1 \implies 2 > x$.
Пересекая с условием $1/10 < x < 1$, получаем решение $x \in (1/10; 1)$.

Объединяя решения из всех случаев, получаем: $x \in (0; 1/10) \cup (1/10; 1) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1/10) \cup (1/10; 1) \cup (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_x(12x + 1) < \log_x |13x - 1|$.
ОДЗ: $\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ 12x + 1 > 0 \\ |13x - 1| > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ x > -1/12 \\ x \neq 1/13 \end{cases}$.
ОДЗ: $x \in (0; 1/13) \cup (1/13; 1) \cup (1; +\infty)$.
Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 1$, функция $\log_x t$ возрастает:
$12x + 1 < |13x - 1|$.
При $x > 1$, $13x - 1 > 0$, поэтому $|13x - 1| = 13x - 1$.
$12x + 1 < 13x - 1 \implies 2 < x$.
Решение для этого случая: $x \in (2; +\infty)$.

2. Если $0 < x < 1$, функция $\log_x t$ убывает:
$12x + 1 > |13x - 1|$.
Раскроем модуль, точка смены знака $x = 1/13$.
а) При $0 < x < 1/13$, $|13x - 1| = 1 - 13x$.
$12x + 1 > 1 - 13x \implies 25x > 0 \implies x > 0$.
Решение: $x \in (0; 1/13)$.
б) При $1/13 < x < 1$, $|13x - 1| = 13x - 1$.
$12x + 1 > 13x - 1 \implies 2 > x$.
Решение: $x \in (1/13; 1)$.

Объединяя все решения, получаем: $x \in (0; 1/13) \cup (1/13; 1) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1/13) \cup (1/13; 1) \cup (2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_x(6x + 1) < \log_x |7x - 1|$.
ОДЗ: $\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ 6x + 1 > 0 \\ |7x - 1| > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ x > -1/6 \\ x \neq 1/7 \end{cases}$.
ОДЗ: $x \in (0; 1/7) \cup (1/7; 1) \cup (1; +\infty)$.
Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 1$, функция $\log_x t$ возрастает:
$6x + 1 < |7x - 1|$.
При $x > 1$, $7x - 1 > 0$, поэтому $|7x - 1| = 7x - 1$.
$6x + 1 < 7x - 1 \implies 2 < x$.
Решение для этого случая: $x \in (2; +\infty)$.

2. Если $0 < x < 1$, функция $\log_x t$ убывает:
$6x + 1 > |7x - 1|$.
Раскроем модуль, точка смены знака $x = 1/7$.
а) При $0 < x < 1/7$, $|7x - 1| = 1 - 7x$.
$6x + 1 > 1 - 7x \implies 13x > 0 \implies x > 0$.
Решение: $x \in (0; 1/7)$.
б) При $1/7 < x < 1$, $|7x - 1| = 7x - 1$.
$6x + 1 > 7x - 1 \implies 2 > x$.
Решение: $x \in (1/7; 1)$.

Объединяя все решения, получаем: $x \in (0; 1/7) \cup (1/7; 1) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1/7) \cup (1/7; 1) \cup (2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_x(17x + 1) < \log_x |18x - 1|$.
ОДЗ: $\begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ 17x + 1 > 0 \\ |18x - 1| > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, x \neq 1 \\ x > -1/17 \\ x \neq 1/18 \end{cases}$.
ОДЗ: $x \in (0; 1/18) \cup (1/18; 1) \cup (1; +\infty)$.
Рассмотрим два случая.

1. Если $x > 1$, функция $\log_x t$ возрастает:
$17x + 1 < |18x - 1|$.
При $x > 1$, $18x - 1 > 0$, поэтому $|18x - 1| = 18x - 1$.
$17x + 1 < 18x - 1 \implies 2 < x$.
Решение для этого случая: $x \in (2; +\infty)$.

2. Если $0 < x < 1$, функция $\log_x t$ убывает:
$17x + 1 > |18x - 1|$.
Раскроем модуль, точка смены знака $x = 1/18$.
а) При $0 < x < 1/18$, $|18x - 1| = 1 - 18x$.
$17x + 1 > 1 - 18x \implies 35x > 0 \implies x > 0$.
Решение: $x \in (0; 1/18)$.
б) При $1/18 < x < 1$, $|18x - 1| = 18x - 1$.
$17x + 1 > 18x - 1 \implies 2 > x$.
Решение: $x \in (1/18; 1)$.

Объединяя все решения, получаем: $x \in (0; 1/18) \cup (1/18; 1) \cup (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (0; 1/18) \cup (1/18; 1) \cup (2; +\infty)$.