Номер 9.68, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.68, страница 265.

Условие.

9.68 Какие из неравенств в системах (задание 9.67) можно опустить? Почему?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

В системах неравенств можно опустить те неравенства, которые являются следствием других неравенств системы. Такое неравенство называется избыточным или redundant. Это означает, что любое решение, удовлетворяющее остальным (более строгим) неравенствам системы, автоматически будет удовлетворять и избыточному неравенству. Поскольку решение системы — это пересечение множеств решений всех входящих в нее неравенств, избыточное неравенство не меняет итогового решения, и его можно убрать для упрощения системы.

В общем виде:

• В группе неравенств вида $x > a_1, x > a_2, ..., x > a_n$ можно оставить только одно, самое сильное: $x > \max(a_1, a_2, ..., a_n)$.
• В группе неравенств вида $x < b_1, x < b_2, ..., x < b_n$ можно оставить только одно, самое сильное: $x < \min(b_1, b_2, ..., b_n)$.

Рассмотрим, какие неравенства можно было бы опустить в гипотетических системах, аналогичных тем, что могли быть в задании 9.67.

а) В системе $ \begin{cases} x > 8 \\ x > 4 \end{cases} $

Можно опустить неравенство $x > 4$. Это возможно потому, что если переменная $x$ удовлетворяет более строгому условию $x > 8$, она автоматически удовлетворяет и менее строгому условию $x > 4$. Множество решений $(8; +\infty)$ является подмножеством множества решений $(4; +\infty)$, и их пересечение равно $(8; +\infty)$. Таким образом, неравенство $x > 4$ является избыточным.

Ответ: можно опустить неравенство $x > 4$, так как оно является следствием неравенства $x > 8$.

б) В системе $ \begin{cases} y < -3 \\ y < 0 \end{cases} $

Можно опустить неравенство $y < 0$. Если переменная $y$ удовлетворяет более строгому условию $y < -3$, она автоматически удовлетворяет и менее строгому условию $y < 0$. Множество решений $(-\infty; -3)$ является подмножеством множества решений $(-\infty; 0)$, и их пересечение равно $(-\infty; -3)$. Таким образом, неравенство $y < 0$ является избыточным.

Ответ: можно опустить неравенство $y < 0$, так как оно является следствием неравенства $y < -3$.

в) В системе $ \begin{cases} a > -1 \\ a > -5 \\ a < 2 \end{cases} $

Можно опустить неравенство $a > -5$. В системе есть два неравенства, ограничивающие переменную $a$ снизу: $a > -1$ и $a > -5$. Условие $a > -1$ является более строгим. Любое число, которое больше -1, автоматически больше и -5. Поэтому неравенство $a > -5$ является избыточным и не влияет на решение системы, которое определяется оставшимися неравенствами $a > -1$ и $a < 2$.

Ответ: можно опустить неравенство $a > -5$, так как оно является следствием неравенства $a > -1$.

г) В системе $ \begin{cases} b < 10 \\ b > -2 \\ b < 12 \end{cases} $

Можно опустить неравенство $b < 12$. В системе есть два неравенства, ограничивающие переменную $b$ сверху: $b < 10$ и $b < 12$. Условие $b < 10$ является более строгим. Любое число, которое меньше 10, автоматически меньше и 12. Поэтому неравенство $b < 12$ является избыточным и не влияет на решение системы, которое определяется оставшимися неравенствами $b < 10$ и $b > -2$.

Ответ: можно опустить неравенство $b < 12$, так как оно является следствием неравенства $b < 10$.