Номер 9.73, страница 266 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.73, страница 266.

Условие.

9.73* a) $\sqrt[5]{x+2} + \pi^{x+2} > \sqrt[5]{\frac{x-1}{2x}} + \pi^{\frac{x-1}{2x}}$;

б) $(\pi-3)^{x-5} - \sqrt[3]{x-5} > (\pi-3)^{\frac{x-9}{2x}} - \sqrt[3]{\frac{x-9}{2x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Исходное неравенство: $ \sqrt[5]{x+2} + \pi^{x+2} > \sqrt[5]{\frac{x-1}{2x}} + \pi^{\frac{x-1}{2x}} $.

Рассмотрим функцию $ f(t) = \sqrt[5]{t} + \pi^t $. Тогда неравенство можно переписать в виде $ f(x+2) > f\left(\frac{x-1}{2x}\right) $.

Исследуем функцию $ f(t) $ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$ f'(t) = (\sqrt[5]{t} + \pi^t)' = (t^{1/5})' + (\pi^t)' = \frac{1}{5}t^{-4/5} + \pi^t \ln(\pi) = \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}} + \pi^t \ln(\pi) $.

Оценим знак производной. Так как $ \pi \approx 3.14 > 1 $, то $ \ln(\pi) > 0 $. Также $ \pi^t > 0 $ для любого $ t $. Значит, слагаемое $ \pi^t \ln(\pi) $ всегда положительно. Первое слагаемое $ \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}} $ также всегда положительно при $ t \neq 0 $, так как $ t^4 \ge 0 $. Следовательно, $ f'(t) > 0 $ для всех $ t $ из области определения производной ($ t \neq 0 $).

Поскольку функция $ f(t) $ непрерывна на всей числовой оси и ее производная положительна всюду, кроме точки $ t=0 $, функция $ f(t) $ является строго возрастающей на всей области определения $ \mathbb{R} $.

Для строго возрастающей функции неравенство $ f(u) > f(v) $ равносильно неравенству $ u > v $. В нашем случае $ u = x+2 $ и $ v = \frac{x-1}{2x} $. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$ x+2 > \frac{x-1}{2x} $

Прежде чем решать, определим область допустимых значений (ОДЗ) для исходного неравенства. Выражения под корнем нечетной степени и показательные функции определены для любых действительных значений аргументов. Единственное ограничение накладывает знаменатель дроби в аргументе функции: $ 2x \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Решим полученное рациональное неравенство:

$ x+2 - \frac{x-1}{2x} > 0 $

$ \frac{2x(x+2) - (x-1)}{2x} > 0 $

$ \frac{2x^2 + 4x - x + 1}{2x} > 0 $

$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{2x} > 0 $

Найдем корни числителя $ 2x^2 + 3x + 1 = 0 $. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3-1}{4} = -1 $, $ x_2 = \frac{-3+1}{4} = -\frac{1}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x+1)(x+1/2)}{2x} > 0 $, или $ \frac{(x+1)(x+1/2)}{x} > 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: $ -1 $, $ -1/2 $, $ 0 $.

- При $ x > 0 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Интервал $ (0, \infty) $ является решением.
- При $ -1/2 < x < 0 $: $ \frac{(+)(+)}{(-)} < 0 $.
- При $ -1 < x < -1/2 $: $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $. Интервал $ (-1, -1/2) $ является решением.
- При $ x < -1 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение $ x \in (-1, -1/2) \cup (0, \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Ответ: $ x \in (-1; -1/2) \cup (0; \infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ (\pi-3)^{x-5} - \sqrt[3]{x-5} > (\pi-3)^{\frac{x-9}{2x}} - \sqrt[3]{\frac{x-9}{2x}} $.

Рассмотрим функцию $ g(t) = (\pi-3)^t - \sqrt[3]{t} $. Тогда неравенство можно переписать в виде $ g(x-5) > g\left(\frac{x-9}{2x}\right) $.

Исследуем функцию $ g(t) $ на монотонность. Найдем ее производную:

$ g'(t) = ((\pi-3)^t - t^{1/3})' = ((\pi-3)^t)' - (t^{1/3})' = (\pi-3)^t \ln(\pi-3) - \frac{1}{3}t^{-2/3} = (\pi-3)^t \ln(\pi-3) - \frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} $.

Оценим знак производной. Основание показательной функции $ \pi-3 \approx 3.14 - 3 = 0.14 $. Так как $ 0 < \pi-3 < 1 $, то $ \ln(\pi-3) < 0 $. Выражение $ (\pi-3)^t $ всегда положительно. Следовательно, первое слагаемое $ (\pi-3)^t \ln(\pi-3) $ всегда отрицательно.

Второе слагаемое $ -\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}} $ также всегда отрицательно при $ t \neq 0 $, так как $ \sqrt[3]{t^2} > 0 $.

Таким образом, $ g'(t) $ является суммой двух отрицательных слагаемых, а значит $ g'(t) < 0 $ для всех $ t \neq 0 $. Поскольку функция $ g(t) $ непрерывна на всей числовой оси, она является строго убывающей на $ \mathbb{R} $.

Для строго убывающей функции неравенство $ g(u) > g(v) $ равносильно неравенству $ u < v $. В нашем случае $ u = x-5 $ и $ v = \frac{x-9}{2x} $. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$ x-5 < \frac{x-9}{2x} $

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства определяется знаменателем дроби в аргументе функции: $ 2x \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.

Решим полученное рациональное неравенство:

$ x-5 - \frac{x-9}{2x} < 0 $

$ \frac{2x(x-5) - (x-9)}{2x} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 10x - x + 9}{2x} < 0 $

$ \frac{2x^2 - 11x + 9}{2x} < 0 $

Найдем корни числителя $ 2x^2 - 11x + 9 = 0 $. Дискриминант $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 $. Корни: $ x_1 = \frac{11 - 7}{4} = 1 $, $ x_2 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} $.

Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-1)(x-9/2)}{2x} < 0 $, или $ \frac{(x-1)(x-9/2)}{x} < 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: $ 0 $, $ 1 $, $ 9/2 $.

- При $ x > 9/2 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
- При $ 1 < x < 9/2 $: $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $. Интервал $ (1, 9/2) $ является решением.
- При $ 0 < x < 1 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $.
- При $ x < 0 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $. Интервал $ (-\infty, 0) $ является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, 9/2) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (1; 9/2) $.