Номер 9.67, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.67, страница 265.

Условие.

$9.67$ Докажите, что равносильны неравенство и система:

a) $\arcsin f(x) > \arcsin g(x)$ и $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1; \end{cases}$

б) $\arccos f(x) > \arccos g(x)$ и $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы доказать, что неравенство $\arcsin f(x) > \arcsin g(x)$ равносильно указанной системе, нужно показать, что их множества решений совпадают. Это можно сделать, выполнив равносильные преобразования исходного неравенства.

1. Область определения. Функция $y = \arcsin(t)$ определена на отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, для того чтобы левая и правая части неравенства имели смысл, необходимо и достаточно, чтобы их аргументы принадлежали этому отрезку. Это приводит к системе условий:

$$ \begin{cases} -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $$

Эти два неравенства совпадают с двумя последними неравенствами в доказываемой системе.

2. Монотонность функции. Функция $y = \arcsin(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых значений $a$ и $b$ из этого отрезка, неравенство $\arcsin(a) > \arcsin(b)$ равносильно неравенству $a > b$.

Применяя это свойство к исходному неравенству, мы получаем, что (при условии выполнения ограничений из пункта 1) оно равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

Объединяя условия из пунктов 1 и 2, мы получаем, что исходное неравенство $\arcsin f(x) > \arcsin g(x)$ равносильно одновременному выполнению всех трех условий, то есть системе:

$$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $$

Таким образом, равносильность неравенства и системы доказана.

Ответ: Равносильность доказана.

б)

Доказательство проводится аналогично пункту а), но с учетом свойств функции арккосинус. Рассмотрим неравенство $\arccos f(x) > \arccos g(x)$.

1. Область определения. Функция $y = \arccos(t)$ также определена на отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, для существования выражений в неравенстве необходимо выполнение условий:

$$ \begin{cases} -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $$

2. Монотонность функции. Функция $y = \arccos(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых значений $a$ и $b$ из этого отрезка, неравенство $\arccos(a) > \arccos(b)$ равносильно неравенству $a < b$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Применяя это свойство к исходному неравенству (при условии выполнения ограничений из пункта 1), получаем, что оно равносильно неравенству $f(x) < g(x)$.

Объединяя эти рассуждения, мы заключаем, что исходное неравенство $\arccos f(x) > \arccos g(x)$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ -1 \le f(x) \le 1 \\ -1 \le g(x) \le 1 \end{cases} $$

Таким образом, равносильность неравенства и системы доказана.

Ответ: Равносильность доказана.