Номер 9.60, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.60, страница 262.

Условие.

9.60* a) $|x| + \frac{1}{3x-7} \le \frac{9x-20}{3x-7}$;

Б) $|x| + \frac{2}{2x+5} \le \frac{6x+17}{2x+5}$;

В) $|x| - \frac{3}{5x-4} \le \frac{10x-11}{5x-4}$;

Г) $|x| - \frac{4}{4x-5} \le \frac{8x-14}{4x-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное неравенство: $|x| + \frac{1}{3x - 7} \le \frac{9x - 20}{3x - 7}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $3x - 7 \neq 0$, откуда $x \neq \frac{7}{3}$.

Перенесем все члены с дробями в правую часть:

$|x| \le \frac{9x - 20}{3x - 7} - \frac{1}{3x - 7}$

Поскольку знаменатели одинаковы, выполним вычитание в числителе:

$|x| \le \frac{9x - 20 - 1}{3x - 7}$

$|x| \le \frac{9x - 21}{3x - 7}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$|x| \le \frac{3(3x - 7)}{3x - 7}$

При условии $x \neq \frac{7}{3}$, выражение $(3x - 7)$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь:

$|x| \le 3$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$.

Теперь учтем ОДЗ. Точка $x = \frac{7}{3}$ (примерно $2.33$) находится внутри отрезка $[-3, 3]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in [-3, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, 3]$.

б) Исходное неравенство: $|x| + \frac{2}{2x + 5} \le \frac{6x + 17}{2x + 5}$.

ОДЗ: знаменатель $2x + 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -\frac{5}{2}$ или $x \neq -2.5$.

Перенесем дробь в правую часть:

$|x| \le \frac{6x + 17}{2x + 5} - \frac{2}{2x + 5}$

Упростим правую часть:

$|x| \le \frac{6x + 17 - 2}{2x + 5}$

$|x| \le \frac{6x + 15}{2x + 5}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$|x| \le \frac{3(2x + 5)}{2x + 5}$

С учетом ОДЗ ($x \neq -2.5$), сокращаем дробь:

$|x| \le 3$

Решением этого неравенства является промежуток $[-3, 3]$.

Исключим из этого промежутка точку $x = -2.5$, согласно ОДЗ.

Ответ: $x \in [-3, -2.5) \cup (-2.5, 3]$.

в) Исходное неравенство: $|x| - \frac{3}{5x - 4} \le \frac{10x - 11}{5x - 4}$.

ОДЗ: $5x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{4}{5}$ или $x \neq 0.8$.

Перенесем дробь в правую часть:

$|x| \le \frac{10x - 11}{5x - 4} + \frac{3}{5x - 4}$

Упростим правую часть:

$|x| \le \frac{10x - 11 + 3}{5x - 4}$

$|x| \le \frac{10x - 8}{5x - 4}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$|x| \le \frac{2(5x - 4)}{5x - 4}$

С учетом ОДЗ ($x \neq 0.8$), сокращаем дробь:

$|x| \le 2$

Решением этого неравенства является промежуток $[-2, 2]$.

Исключим из этого промежутка точку $x = 0.8$, согласно ОДЗ.

Ответ: $x \in [-2, 0.8) \cup (0.8, 2]$.

г) Исходное неравенство: $|x| - \frac{4}{4x - 5} \le \frac{8x - 14}{4x - 5}$.

ОДЗ: $4x - 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq \frac{5}{4}$ или $x \neq 1.25$.

Перенесем дробь в правую часть:

$|x| \le \frac{8x - 14}{4x - 5} + \frac{4}{4x - 5}$

Упростим правую часть:

$|x| \le \frac{8x - 14 + 4}{4x - 5}$

$|x| \le \frac{8x - 10}{4x - 5}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$|x| \le \frac{2(4x - 5)}{4x - 5}$

С учетом ОДЗ ($x \neq 1.25$), сокращаем дробь:

$|x| \le 2$

Решением этого неравенства является промежуток $[-2, 2]$.

Исключим из этого промежутка точку $x = 1.25$, согласно ОДЗ.

Ответ: $x \in [-2, 1.25) \cup (1.25, 2]$.