Номер 9.59, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.59, страница 262.

Условие.

9.59* а) $|2 \log_8 x - 3| < \log_8 x + 1;$

б) $|2 \log_3 x - 5| < \log_3 x - 1;$

в) $|2 \log_2 x - 3| > \log_2 x + 3;$

г) $|2 \lg x - 5| < \lg x + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $|2\log_8 x - 3| < \log_8 x + 1$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, следовательно, $x > 0$. Кроме того, значение модуля всегда неотрицательно, поэтому правая часть неравенства должна быть строго положительной:

$\log_8 x + 1 > 0$

$\log_8 x > -1$

$x > 8^{-1}$

$x > 1/8$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (1/8; +\infty)$.

2. Для упрощения решения введем замену: $t = \log_8 x$. Неравенство принимает вид:

$|2t - 3| < t + 1$

3. Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$, что выполняется согласно ОДЗ) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

$-(t + 1) < 2t - 3 < t + 1$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} 2t - 3 < t + 1 \\ 2t - 3 > -(t + 1) \end{cases} $

4. Решаем систему:

$ \begin{cases} t < 4 \\ 2t - 3 > -t - 1 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ 3t > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ t > 2/3 \end{cases} $

Решением для $t$ является интервал $2/3 < t < 4$.

5. Выполним обратную замену:

$2/3 < \log_8 x < 4$

6. Так как основание логарифма $8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знаки неравенства сохраняются:

$8^{2/3} < x < 8^4$

$(2^3)^{2/3} < x < (2^3)^4$

$2^2 < x < 2^{12}$

$4 < x < 4096$

Полученный интервал $(4; 4096)$ полностью входит в ОДЗ $x > 1/8$.

Ответ: $(4; 4096)$.

б) $|2\log_3 x - 5| < \log_3 x - 1$

1. ОДЗ: $x > 0$. По аналогии с предыдущим примером, правая часть должна быть строго положительной:

$\log_3 x - 1 > 0$

$\log_3 x > 1$

$x > 3^1 = 3$

Итоговая ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

2. Введем замену $t = \log_3 x$:

$|2t - 5| < t - 1$

3. Раскроем модуль, получив систему неравенств:

$-(t - 1) < 2t - 5 < t - 1$

$ \begin{cases} 2t - 5 < t - 1 \\ 2t - 5 > -(t - 1) \end{cases} $

4. Решаем систему:

$ \begin{cases} t < 4 \\ 2t - 5 > -t + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ 3t > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ t > 2 \end{cases} $

Решение для $t$: $2 < t < 4$.

5. Обратная замена:

$2 < \log_3 x < 4$

6. Потенцируем неравенство по основанию 3 (знаки сохраняются, так как $3>1$):

$3^2 < x < 3^4$

$9 < x < 81$

Решение $(9; 81)$ удовлетворяет ОДЗ $x > 3$.

Ответ: $(9; 81)$.

в) $|2\log_2 x - 3| > \log_2 x + 3$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Введем замену $t = \log_2 x$:

$|2t - 3| > t + 3$

3. Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

$ \begin{bmatrix} 2t - 3 > t + 3 \\ 2t - 3 < -(t + 3) \end{bmatrix} $

4. Решаем каждое неравенство совокупности:

$2t - 3 > t + 3 \implies t > 6$.

$2t - 3 < -t - 3 \implies 3t < 0 \implies t < 0$.

Решение для $t$: $t \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

5. Выполняем обратную замену:

$\log_2 x < 0$ или $\log_2 x > 6$

6. Решаем каждое логарифмическое неравенство с учетом ОДЗ $x>0$:

Если $\log_2 x < 0$, то $0 < x < 2^0 \implies 0 < x < 1$.

Если $\log_2 x > 6$, то $x > 2^6 \implies x > 64$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый результат.

Ответ: $(0; 1) \cup (64; +\infty)$.

г) $|2\lg x - 5| < \lg x + 2$

1. ОДЗ: $x > 0$. Так как левая часть неотрицательна, правая должна быть положительной:

$\lg x + 2 > 0$

$\lg x > -2$

$x > 10^{-2} = 0.01$

Итоговая ОДЗ: $x \in (0.01; +\infty)$.

2. Введем замену $t = \lg x$:

$|2t - 5| < t + 2$

3. Раскрываем модуль:

$-(t + 2) < 2t - 5 < t + 2$

$ \begin{cases} 2t - 5 < t + 2 \\ 2t - 5 > -(t + 2) \end{cases} $

4. Решаем систему:

$ \begin{cases} t < 7 \\ 2t - 5 > -t - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 7 \\ 3t > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 7 \\ t > 1 \end{cases} $

Решение для $t$: $1 < t < 7$.

5. Обратная замена:

$1 < \lg x < 7$

6. Потенцируем неравенство по основанию 10 (знаки сохраняются, так как $10>1$):

$10^1 < x < 10^7$

$10 < x < 10\ 000\ 000$

Решение $(10; 10^7)$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0.01$.

Ответ: $(10; 10^7)$.