Номер 9.59, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.59, страница 262.
№9.59 (с. 262)
Условие. №9.59 (с. 262)
скриншот условия

9.59* а) $|2 \log_8 x - 3| < \log_8 x + 1;$
б) $|2 \log_3 x - 5| < \log_3 x - 1;$
в) $|2 \log_2 x - 3| > \log_2 x + 3;$
г) $|2 \lg x - 5| < \lg x + 2.$
Решение 1. №9.59 (с. 262)




Решение 2. №9.59 (с. 262)



Решение 4. №9.59 (с. 262)
а) $|2\log_8 x - 3| < \log_8 x + 1$
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен, следовательно, $x > 0$. Кроме того, значение модуля всегда неотрицательно, поэтому правая часть неравенства должна быть строго положительной:
$\log_8 x + 1 > 0$
$\log_8 x > -1$
$x > 8^{-1}$
$x > 1/8$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (1/8; +\infty)$.
2. Для упрощения решения введем замену: $t = \log_8 x$. Неравенство принимает вид:
$|2t - 3| < t + 1$
3. Неравенство вида $|A| < B$ (при $B > 0$, что выполняется согласно ОДЗ) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
$-(t + 1) < 2t - 3 < t + 1$
Это эквивалентно системе из двух неравенств:
$ \begin{cases} 2t - 3 < t + 1 \\ 2t - 3 > -(t + 1) \end{cases} $
4. Решаем систему:
$ \begin{cases} t < 4 \\ 2t - 3 > -t - 1 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ 3t > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ t > 2/3 \end{cases} $
Решением для $t$ является интервал $2/3 < t < 4$.
5. Выполним обратную замену:
$2/3 < \log_8 x < 4$
6. Так как основание логарифма $8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$8^{2/3} < x < 8^4$
$(2^3)^{2/3} < x < (2^3)^4$
$2^2 < x < 2^{12}$
$4 < x < 4096$
Полученный интервал $(4; 4096)$ полностью входит в ОДЗ $x > 1/8$.
Ответ: $(4; 4096)$.
б) $|2\log_3 x - 5| < \log_3 x - 1$
1. ОДЗ: $x > 0$. По аналогии с предыдущим примером, правая часть должна быть строго положительной:
$\log_3 x - 1 > 0$
$\log_3 x > 1$
$x > 3^1 = 3$
Итоговая ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.
2. Введем замену $t = \log_3 x$:
$|2t - 5| < t - 1$
3. Раскроем модуль, получив систему неравенств:
$-(t - 1) < 2t - 5 < t - 1$
$ \begin{cases} 2t - 5 < t - 1 \\ 2t - 5 > -(t - 1) \end{cases} $
4. Решаем систему:
$ \begin{cases} t < 4 \\ 2t - 5 > -t + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ 3t > 6 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 4 \\ t > 2 \end{cases} $
Решение для $t$: $2 < t < 4$.
5. Обратная замена:
$2 < \log_3 x < 4$
6. Потенцируем неравенство по основанию 3 (знаки сохраняются, так как $3>1$):
$3^2 < x < 3^4$
$9 < x < 81$
Решение $(9; 81)$ удовлетворяет ОДЗ $x > 3$.
Ответ: $(9; 81)$.
в) $|2\log_2 x - 3| > \log_2 x + 3$
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Введем замену $t = \log_2 x$:
$|2t - 3| > t + 3$
3. Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
$ \begin{bmatrix} 2t - 3 > t + 3 \\ 2t - 3 < -(t + 3) \end{bmatrix} $
4. Решаем каждое неравенство совокупности:
$2t - 3 > t + 3 \implies t > 6$.
$2t - 3 < -t - 3 \implies 3t < 0 \implies t < 0$.
Решение для $t$: $t \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.
5. Выполняем обратную замену:
$\log_2 x < 0$ или $\log_2 x > 6$
6. Решаем каждое логарифмическое неравенство с учетом ОДЗ $x>0$:
Если $\log_2 x < 0$, то $0 < x < 2^0 \implies 0 < x < 1$.
Если $\log_2 x > 6$, то $x > 2^6 \implies x > 64$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговый результат.
Ответ: $(0; 1) \cup (64; +\infty)$.
г) $|2\lg x - 5| < \lg x + 2$
1. ОДЗ: $x > 0$. Так как левая часть неотрицательна, правая должна быть положительной:
$\lg x + 2 > 0$
$\lg x > -2$
$x > 10^{-2} = 0.01$
Итоговая ОДЗ: $x \in (0.01; +\infty)$.
2. Введем замену $t = \lg x$:
$|2t - 5| < t + 2$
3. Раскрываем модуль:
$-(t + 2) < 2t - 5 < t + 2$
$ \begin{cases} 2t - 5 < t + 2 \\ 2t - 5 > -(t + 2) \end{cases} $
4. Решаем систему:
$ \begin{cases} t < 7 \\ 2t - 5 > -t - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 7 \\ 3t > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 7 \\ t > 1 \end{cases} $
Решение для $t$: $1 < t < 7$.
5. Обратная замена:
$1 < \lg x < 7$
6. Потенцируем неравенство по основанию 10 (знаки сохраняются, так как $10>1$):
$10^1 < x < 10^7$
$10 < x < 10\ 000\ 000$
Решение $(10; 10^7)$ удовлетворяет ОДЗ $x > 0.01$.
Ответ: $(10; 10^7)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.59 расположенного на странице 262 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.59 (с. 262), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.