Номер 9.55, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.55, страница 262.
№9.55 (с. 262)
Условие. №9.55 (с. 262)
скриншот условия

9.55 a) $\frac{\sqrt{x-2}}{x-1} > 0$
б) $\frac{\sqrt{x-3}}{2-x} < 0$
в) $\frac{\sqrt{-x-2}}{-2-x} > 0$
г) $\frac{\sqrt{-x-3}}{x+2} < 0$
Решение 1. №9.55 (с. 262)




Решение 2. №9.55 (с. 262)



Решение 4. №9.55 (с. 262)
а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-2}}{x-1} > 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.
$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.
Теперь решим само неравенство. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы дробь была строго больше нуля, числитель не должен быть равен нулю, и знаменатель должен быть положительным.
1. Условие, при котором числитель становится положительным: $\sqrt{x-2} > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$.
2. Условие, при котором знаменатель положителен: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Теперь нам нужно найти пересечение всех полученных условий: ОДЗ ($x \ge 2$), условия на числитель ($x > 2$) и условия на знаменатель ($x > 1$).
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x > 2 \\ x > 1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x > 2$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.
б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-3}}{2-x} < 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2-x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \neq 2 \end{cases}$
Условие $x \neq 2$ выполняется, так как $x \ge 3$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.
Числитель $\sqrt{x-3}$ неотрицателен. Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель не должен быть равен нулю, а знаменатель должен быть отрицательным.
1. Числитель не равен нулю: $\sqrt{x-3} \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. При этом числитель будет строго положительным.
2. Знаменатель должен быть отрицательным: $2-x < 0 \implies 2 < x \implies x > 2$.
Объединим все условия: ОДЗ ($x \ge 3$), $x \neq 3$ и $x > 2$.
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \neq 3 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.
в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{-x-2}}{-2-x} > 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x-2 \ge 0 \\ -2-x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \ge 2 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$
ОДЗ: $x < -2$.
На области допустимых значений ($x < -2$), выражение в знаменателе $-2-x$ является положительным. Например, если $x=-3$, то $-2-(-3) = 1 > 0$.
Также на ОДЗ выражение под корнем $-x-2$ строго положительно, а значит и сам корень $\sqrt{-x-2}$ строго положителен.
Поскольку на всей ОДЗ и числитель, и знаменатель дроби положительны, их частное также будет положительным. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.
г) Решим неравенство $\frac{\sqrt{-x-3}}{x+2} < 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x-3 \ge 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \ge 3 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -3 \\ x \neq -2 \end{cases}$
Поскольку $-3 < -2$, условие $x \neq -2$ для $x \le -3$ выполняется автоматически. ОДЗ: $x \le -3$.
Числитель $\sqrt{-x-3}$ неотрицателен. Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель не должен быть равен нулю (то есть должен быть строго положителен), а знаменатель должен быть отрицательным.
1. $\sqrt{-x-3} > 0 \implies -x-3 > 0 \implies -x > 3 \implies x < -3$.
2. $x+2 < 0 \implies x < -2$.
Объединим полученные условия с ОДЗ ($x \le -3$):
$\begin{cases} x < -3 \\ x < -2 \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x < -3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.55 расположенного на странице 262 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.55 (с. 262), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.