Номер 9.55, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.55, страница 262.

Условие.

9.55 a) $\frac{\sqrt{x-2}}{x-1} > 0$

б) $\frac{\sqrt{x-3}}{2-x} < 0$

в) $\frac{\sqrt{-x-2}}{-2-x} > 0$

г) $\frac{\sqrt{-x-3}}{x+2} < 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-2}}{x-1} > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Теперь решим само неравенство. Арифметический квадратный корень $\sqrt{x-2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы дробь была строго больше нуля, числитель не должен быть равен нулю, и знаменатель должен быть положительным.

1. Условие, при котором числитель становится положительным: $\sqrt{x-2} > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$.

2. Условие, при котором знаменатель положителен: $x-1 > 0 \implies x > 1$.

Теперь нам нужно найти пересечение всех полученных условий: ОДЗ ($x \ge 2$), условия на числитель ($x > 2$) и условия на знаменатель ($x > 1$).

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x > 2 \\ x > 1 \end{cases}$

Общим решением системы является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-3}}{2-x} < 0$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2-x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Условие $x \neq 2$ выполняется, так как $x \ge 3$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.

Числитель $\sqrt{x-3}$ неотрицателен. Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель не должен быть равен нулю, а знаменатель должен быть отрицательным.

1. Числитель не равен нулю: $\sqrt{x-3} \neq 0 \implies x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. При этом числитель будет строго положительным.

2. Знаменатель должен быть отрицательным: $2-x < 0 \implies 2 < x \implies x > 2$.

Объединим все условия: ОДЗ ($x \ge 3$), $x \neq 3$ и $x > 2$.

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \neq 3 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{-x-2}}{-2-x} > 0$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x-2 \ge 0 \\ -2-x \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \ge 2 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -2 \\ x \neq -2 \end{cases}$

ОДЗ: $x < -2$.

На области допустимых значений ($x < -2$), выражение в знаменателе $-2-x$ является положительным. Например, если $x=-3$, то $-2-(-3) = 1 > 0$.

Также на ОДЗ выражение под корнем $-x-2$ строго положительно, а значит и сам корень $\sqrt{-x-2}$ строго положителен.

Поскольку на всей ОДЗ и числитель, и знаменатель дроби положительны, их частное также будет положительным. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

г) Решим неравенство $\frac{\sqrt{-x-3}}{x+2} < 0$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x-3 \ge 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \ge 3 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -3 \\ x \neq -2 \end{cases}$

Поскольку $-3 < -2$, условие $x \neq -2$ для $x \le -3$ выполняется автоматически. ОДЗ: $x \le -3$.

Числитель $\sqrt{-x-3}$ неотрицателен. Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель не должен быть равен нулю (то есть должен быть строго положителен), а знаменатель должен быть отрицательным.

1. $\sqrt{-x-3} > 0 \implies -x-3 > 0 \implies -x > 3 \implies x < -3$.

2. $x+2 < 0 \implies x < -2$.

Объединим полученные условия с ОДЗ ($x \le -3$):

$\begin{cases} x < -3 \\ x < -2 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.