Номер 9.52, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.52, страница 262.

Условие.

9.52* Докажите справедливость утверждений:

a) Неравенство $ |f(x)| < g(x) $ равносильно двойному неравенству $ -g(x) < f(x) < g(x) $.

б) Неравенство $ |f(x)| > g(x) $ равносильно совокупности двух неравенств $ f(x) > g(x) $ и $ f(x) < -g(x) $.

в) Неравенство $ \log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x) $ равносильно совокупности систем

$ \begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x) \\ g(x) > 1 \end{cases} $ и $ \begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0 \\ 0 < g(x) < 1 \end{cases} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Докажем, что неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно двойному неравенству $-g(x) < f(x) < g(x)$.

Рассмотрим два случая, исходя из определения модуля.

Прежде всего, заметим, что для существования решений неравенства $|f(x)| < g(x)$ необходимо, чтобы правая часть была положительной, так как модуль числа всегда неотрицателен. То есть, должно выполняться $g(x) > 0$.

Случай 1: $f(x) \ge 0$.

В этом случае $|f(x)| = f(x)$. Исходное неравенство принимает вид:

$f(x) < g(x)$.

Объединяя с условием случая, получаем систему:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases} $ , что можно записать в виде двойного неравенства $0 \le f(x) < g(x)$.

Случай 2: $f(x) < 0$.

В этом случае $|f(x)| = -f(x)$. Исходное неравенство принимает вид:

$-f(x) < g(x)$.

Умножив обе части на -1, меняем знак неравенства:

$f(x) > -g(x)$.

Объединяя с условием случая, получаем систему:

$ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $ , что можно записать в виде двойного неравенства $-g(x) < f(x) < 0$.

Решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях:

($-g(x) < f(x) < 0$) $\cup$ ($0 \le f(x) < g(x)$).

Это объединение и представляет собой двойное неравенство $-g(x) < f(x) < g(x)$.

Таким образом, равносильность доказана.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что неравенство $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ и $f(x) < -g(x)$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $g(x)$.

Случай 1: $g(x) < 0$.

Поскольку $|f(x)| \ge 0$ для любых $x$, а $g(x)$ отрицательно, неравенство $|f(x)| > g(x)$ выполняется для всех $x$ из области определения функции $f(x)$.

Рассмотрим теперь совокупность $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$. Так как $g(x) < 0$, то $-g(x) > 0$. Для любого действительного значения $y = f(x)$ будет выполняться либо $y > g(x)$ (так как $y$ может быть больше отрицательного числа), либо $y < -g(x)$ (так как $y$ может быть меньше положительного числа). Объединение этих двух условий покрывает всю числовую ось, то есть оно верно для любого значения $f(x)$. Следовательно, в этом случае утверждение справедливо.

Случай 2: $g(x) \ge 0$.

В этом случае обе части неравенства $|f(x)| > g(x)$ неотрицательны. Мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$|f(x)|^2 > (g(x))^2$

$(f(x))^2 > (g(x))^2$

Перенесем все в левую часть и разложим на множители как разность квадратов:

$(f(x))^2 - (g(x))^2 > 0$

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно, если они оба имеют одинаковый знак. Это приводит к совокупности двух систем:

1) Оба сомножителя положительны:

$ \begin{cases} f(x) - g(x) > 0 \\ f(x) + g(x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $

Поскольку по условию случая $g(x) \ge 0$, то $g(x) \ge -g(x)$. Следовательно, если $f(x) > g(x)$, то неравенство $f(x) > -g(x)$ выполняется автоматически. Таким образом, эта система равносильна одному неравенству $f(x) > g(x)$.

2) Оба сомножителя отрицательны:

$ \begin{cases} f(x) - g(x) < 0 \\ f(x) + g(x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) < -g(x) \end{cases} $

Поскольку $g(x) \ge 0$, то $-g(x) \le g(x)$. Следовательно, если $f(x) < -g(x)$, то неравенство $f(x) < g(x)$ выполняется автоматически. Эта система равносильна одному неравенству $f(x) < -g(x)$.

Объединяя решения из этих двух систем, получаем искомую совокупность: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

Таким образом, равносильность доказана для всех возможных значений $g(x)$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Докажем, что неравенство $\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x)$ равносильно совокупности двух систем.

Прежде всего, запишем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических выражений:

• Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$.
• Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $g(x) > 0$ и $g(x) \neq 1$.

Решение логарифмического неравенства зависит от значения его основания $g(x)$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Основание логарифма больше единицы, то есть $g(x) > 1$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется:

$f(x) < \varphi(x)$.

Учитывая ОДЗ ($f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$), получаем, что если $f(x) > 0$ и $f(x) < \varphi(x)$, то $\varphi(x)$ автоматически будет больше нуля. Следовательно, для этого случая мы получаем систему:

$ \begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x) \\ g(x) > 1 \end{cases} $

Эта система полностью совпадает с первой системой в доказываемом утверждении.

Случай 2: Основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то есть $0 < g(x) < 1$.

В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$f(x) > \varphi(x)$.

Учитывая ОДЗ ($f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$), получаем, что если $\varphi(x) > 0$ и $f(x) > \varphi(x)$, то $f(x)$ автоматически будет больше нуля. Следовательно, для этого случая мы получаем систему:

$ \begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0 \\ 0 < g(x) < 1 \end{cases} $

Эта система полностью совпадает со второй системой в доказываемом утверждении.

Общее решение исходного неравенства является объединением (совокупностью) решений, полученных в этих двух случаях. Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности двух указанных систем.

Ответ: Утверждение доказано.