Номер 9.54, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.54, страница 262.

Условие.

9.54 а) $ (3 - \sqrt{10 - x})(\sqrt{x - 2}) < 0; $

б) $ (2 - \sqrt{9 - x})(\sqrt{x - 1}) > 0; $

В) $ (\sqrt{3 - x} - 1)\lg x < 0; $

Г) $ (\sqrt{x - 1})\lg(3 - x) < 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $(3 - \sqrt{10-x})(\sqrt{x-2}) < 0$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 10 - x \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 10 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, 10]$.
Множитель $\sqrt{x-2}$ на своей области определения всегда неотрицателен. Для того чтобы произведение было строго отрицательным ($<0$), необходимо, чтобы $\sqrt{x-2}$ был строго больше нуля, а второй множитель — отрицательным.
1) $\sqrt{x-2} > 0 \implies x-2 > 0 \implies x > 2$.
2) $3 - \sqrt{10-x} < 0 \implies 3 < \sqrt{10-x}$.
На рассматриваемой области $x \in (2, 10]$ обе части неравенства $3 < \sqrt{10-x}$ положительны, поэтому его можно возвести в квадрат:
$9 < 10 - x$
$x < 10 - 9$
$x < 1$
Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий: $x > 2$, $x < 1$ и ОДЗ $x \in [2, 10]$.
Система условий $\begin{cases} x \in [2, 10] \\ x > 2 \\ x < 1 \end{cases}$ не имеет решений, так как интервалы $(2, +\infty)$ и $(-\infty, 1)$ не пересекаются.
Ответ: нет решений.

б) Решим неравенство $(2 - \sqrt{9-x})(\sqrt{x-1}) > 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 9 - x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 9 \\ x \ge 1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [1, 9]$.
Чтобы произведение было положительным, множители должны быть одного знака. Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, оба множителя должны быть строго положительными.
1) $\sqrt{x-1} > 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1$.
2) $2 - \sqrt{9-x} > 0 \implies 2 > \sqrt{9-x}$.
Обе части этого неравенства положительны, возводим в квадрат:
$4 > 9 - x$
$x > 9 - 4$
$x > 5$
Найдем пересечение всех условий: $x \in [1, 9]$, $x > 1$ и $x > 5$.
Общее решение: $x \in (5, 9]$.
Ответ: $(5, 9]$.

в) Решим неравенство $(\sqrt{3-x}-1)\lg x < 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (0, 3]$.
Произведение отрицательно, если множители имеют разные знаки. Решим задачу методом интервалов. Найдем нули каждого множителя:
1) $\sqrt{3-x} - 1 = 0 \implies \sqrt{3-x} = 1 \implies 3 - x = 1 \implies x = 2$.
2) $\lg x = 0 \implies x = 10^0 \implies x = 1$.
Нанесем точки $1$ и $2$ на числовую ось и определим знаки произведения на интервалах в пределах ОДЗ $(0, 3]$: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3]$.
- При $x \in (0, 1)$, например $x=0.1$: $(\sqrt{2.9}-1) > 0$ и $\lg(0.1) < 0$. Произведение отрицательно.
- При $x \in (1, 2)$, например $x=1.5$: $(\sqrt{1.5}-1) > 0$ и $\lg(1.5) > 0$. Произведение положительно.
- При $x \in (2, 3]$, например $x=3$: $(\sqrt{0}-1) < 0$ и $\lg(3) > 0$. Произведение отрицательно.
Решением являются интервалы, где произведение отрицательно.
Ответ: $(0, 1) \cup (2, 3]$.

г) Решим неравенство $(\sqrt{x}-1)\lg(3-x) < 0$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [0, 3)$.
Произведение отрицательно, если множители имеют разные знаки. Решим задачу методом интервалов. Найдем нули каждого множителя:
1) $\sqrt{x} - 1 = 0 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.
2) $\lg(3-x) = 0 \implies 3 - x = 1 \implies x = 2$.
Нанесем точки $1$ и $2$ на числовую ось и определим знаки произведения на интервалах в пределах ОДЗ $[0, 3)$: $[0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$.
- При $x \in [0, 1)$, например $x=0.5$: $(\sqrt{0.5}-1) < 0$ и $\lg(2.5) > 0$. Произведение отрицательно.
- При $x \in (1, 2)$, например $x=1.5$: $(\sqrt{1.5}-1) > 0$ и $\lg(1.5) > 0$. Произведение положительно.
- При $x \in (2, 3)$, например $x=2.5$: $(\sqrt{2.5}-1) > 0$ и $\lg(0.5) < 0$. Произведение отрицательно.
Решением являются интервалы, где произведение отрицательно.
Ответ: $[0, 1) \cup (2, 3)$.