Номер 9.61, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.61, страница 263.
№9.61 (с. 263)
Условие. №9.61 (с. 263)
скриншот условия

9.61* a) $|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} \le \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8}$;
б) $|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} \le \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10}$.
Решение 1. №9.61 (с. 263)


Решение 2. №9.61 (с. 263)

Решение 4. №9.61 (с. 263)
а)
Исходное неравенство:
$|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} \le \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8}$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 + 2x - 8 \neq 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq 2$.
2. Преобразуем неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} - \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8} \le 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$|x| + \frac{1 - (3x^2 + 6x - 23)}{x^2 + 2x - 8} \le 0$
$|x| + \frac{1 - 3x^2 - 6x + 23}{x^2 + 2x - 8} \le 0$
$|x| + \frac{-3x^2 - 6x + 24}{x^2 + 2x - 8} \le 0$
Вынесем общий множитель $-3$ в числителе:
$|x| + \frac{-3(x^2 + 2x - 8)}{x^2 + 2x - 8} \le 0$
Поскольку мы находимся в области допустимых значений, где $x^2 + 2x - 8 \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$|x| - 3 \le 0$
3. Решим полученное простое неравенство:
$|x| \le 3$
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-3 \le x \le 3$
4. Учтем ОДЗ. Мы получили решение $x \in [-3, 3]$. Из этого интервала нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ.
Точка $x = -4$ не входит в интервал $[-3, 3]$.
Точка $x = 2$ входит в интервал $[-3, 3]$, поэтому ее необходимо исключить.
Итоговое решение представляет собой объединение интервалов:
$x \in [-3, 2) \cup (2, 3]$
Ответ: $x \in [-3, 2) \cup (2, 3]$.
б)
Исходное неравенство:
$|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} \le \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10}$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 3x - 10 \neq 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -2$.
2. Преобразуем неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} - \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10} \le 0$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$|x| + \frac{2 - (4x^2 - 12x - 38)}{x^2 - 3x - 10} \le 0$
$|x| + \frac{2 - 4x^2 + 12x + 38}{x^2 - 3x - 10} \le 0$
$|x| + \frac{-4x^2 + 12x + 40}{x^2 - 3x - 10} \le 0$
Вынесем общий множитель $-4$ в числителе:
$|x| + \frac{-4(x^2 - 3x - 10)}{x^2 - 3x - 10} \le 0$
Поскольку мы находимся в области допустимых значений, где $x^2 - 3x - 10 \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$|x| - 4 \le 0$
3. Решим полученное простое неравенство:
$|x| \le 4$
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:
$-4 \le x \le 4$
4. Учтем ОДЗ. Мы получили решение $x \in [-4, 4]$. Из этого интервала нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ.
Точка $x = 5$ не входит в интервал $[-4, 4]$.
Точка $x = -2$ входит в интервал $[-4, 4]$, поэтому ее необходимо исключить.
Итоговое решение представляет собой объединение интервалов:
$x \in [-4, -2) \cup (-2, 4]$
Ответ: $x \in [-4, -2) \cup (-2, 4]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.61 расположенного на странице 263 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.61 (с. 263), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.