Номер 9.61, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.61, страница 263.

Условие.

9.61* a) $|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} \le \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8}$;

б) $|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} \le \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство:

$|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} \le \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 + 2x - 8 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq 2$.

2. Преобразуем неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$|x| + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} - \frac{3x^2 + 6x - 23}{x^2 + 2x - 8} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$|x| + \frac{1 - (3x^2 + 6x - 23)}{x^2 + 2x - 8} \le 0$

$|x| + \frac{1 - 3x^2 - 6x + 23}{x^2 + 2x - 8} \le 0$

$|x| + \frac{-3x^2 - 6x + 24}{x^2 + 2x - 8} \le 0$

Вынесем общий множитель $-3$ в числителе:

$|x| + \frac{-3(x^2 + 2x - 8)}{x^2 + 2x - 8} \le 0$

Поскольку мы находимся в области допустимых значений, где $x^2 + 2x - 8 \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$|x| - 3 \le 0$

3. Решим полученное простое неравенство:

$|x| \le 3$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-3 \le x \le 3$

4. Учтем ОДЗ. Мы получили решение $x \in [-3, 3]$. Из этого интервала нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ.

Точка $x = -4$ не входит в интервал $[-3, 3]$.

Точка $x = 2$ входит в интервал $[-3, 3]$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое решение представляет собой объединение интервалов:

$x \in [-3, 2) \cup (2, 3]$

Ответ: $x \in [-3, 2) \cup (2, 3]$.

б)

Исходное неравенство:

$|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} \le \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 - 3x - 10 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -2$.

2. Преобразуем неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$|x| + \frac{2}{x^2 - 3x - 10} - \frac{4x^2 - 12x - 38}{x^2 - 3x - 10} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$|x| + \frac{2 - (4x^2 - 12x - 38)}{x^2 - 3x - 10} \le 0$

$|x| + \frac{2 - 4x^2 + 12x + 38}{x^2 - 3x - 10} \le 0$

$|x| + \frac{-4x^2 + 12x + 40}{x^2 - 3x - 10} \le 0$

Вынесем общий множитель $-4$ в числителе:

$|x| + \frac{-4(x^2 - 3x - 10)}{x^2 - 3x - 10} \le 0$

Поскольку мы находимся в области допустимых значений, где $x^2 - 3x - 10 \neq 0$, мы можем сократить дробь:

$|x| - 4 \le 0$

3. Решим полученное простое неравенство:

$|x| \le 4$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-4 \le x \le 4$

4. Учтем ОДЗ. Мы получили решение $x \in [-4, 4]$. Из этого интервала нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ.

Точка $x = 5$ не входит в интервал $[-4, 4]$.

Точка $x = -2$ входит в интервал $[-4, 4]$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое решение представляет собой объединение интервалов:

$x \in [-4, -2) \cup (-2, 4]$

Ответ: $x \in [-4, -2) \cup (-2, 4]$.