Номер 9.64, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.64, страница 263.

Условие.

9.64* a) $\log_x \frac{8x-7}{8x+13} \ge \log_x \frac{14x-9}{8x+13}$;

б) $\log_x \frac{9x-8}{9x+14} \ge \log_x \frac{17x-10}{9x+14}$;

в) $\log_x \frac{10x-9}{6x+11} \ge \log_x \frac{20x-11}{6x+11}$;

г) $\log_x \frac{11x-10}{5x+12} \ge \log_x \frac{17x-12}{5x+12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\log_x \frac{8x-7}{8x+13} \ge \log_x \frac{14x-9}{8x+13}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$\frac{8x-7}{8x+13} > 0 \implies x \in (-\infty, -13/8) \cup (7/8, \infty)$.
$\frac{14x-9}{8x+13} > 0 \implies x \in (-\infty, -13/8) \cup (9/14, \infty)$.
Сравнивая $7/8 = 0.875$ и $9/14 \approx 0.643$, находим пересечение этих условий: $x \in (-\infty, -13/8) \cup (7/8, \infty)$.
Объединяя все условия ОДЗ, получаем: $x \in (7/8, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма.

Случай 1: $0 < x < 1$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $x \in (7/8, 1)$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{8x-7}{8x+13} \le \frac{14x-9}{8x+13}$.
На интервале $(7/8, 1)$ знаменатель $8x+13$ положителен, поэтому можно на него умножить:
$8x-7 \le 14x-9$
$2 \le 6x$
$x \ge 1/3$.
Пересечение решения $x \ge 1/3$ с интервалом $(7/8, 1)$ дает $x \in (7/8, 1)$.

Случай 2: $x > 1$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $x \in (1, \infty)$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$\frac{8x-7}{8x+13} \ge \frac{14x-9}{8x+13}$.
Знаменатель $8x+13$ положителен, умножаем на него:
$8x-7 \ge 14x-9$
$2 \ge 6x$
$x \le 1/3$.
Пересечение решения $x \le 1/3$ с интервалом $(1, \infty)$ является пустым множеством.

3. Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (7/8, 1)$.

б)

Решим неравенство $\log_x \frac{9x-8}{9x+14} \ge \log_x \frac{17x-10}{9x+14}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Аргументы логарифмов:
$\frac{9x-8}{9x+14} > 0 \implies x \in (-\infty, -14/9) \cup (8/9, \infty)$.
$\frac{17x-10}{9x+14} > 0 \implies x \in (-\infty, -14/9) \cup (10/17, \infty)$.
Сравнивая $8/9 \approx 0.889$ и $10/17 \approx 0.588$, находим пересечение: $x \in (-\infty, -14/9) \cup (8/9, \infty)$.
Объединяя все условия ОДЗ, получаем: $x \in (8/9, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < x < 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (8/9, 1)$.
Функция $\log_x t$ убывает, знак неравенства меняется:
$\frac{9x-8}{9x+14} \le \frac{17x-10}{9x+14}$.
На интервале $(8/9, 1)$ знаменатель $9x+14$ положителен, умножаем на него:
$9x-8 \le 17x-10$
$2 \le 8x$
$x \ge 1/4$.
Пересечение $x \ge 1/4$ с $(8/9, 1)$ дает $x \in (8/9, 1)$.

Случай 2: $x > 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (1, \infty)$.
Функция $\log_x t$ возрастает, знак неравенства сохраняется:
$\frac{9x-8}{9x+14} \ge \frac{17x-10}{9x+14}$.
$9x-8 \ge 17x-10$
$2 \ge 8x$
$x \le 1/4$.
Пересечение $x \le 1/4$ с $(1, \infty)$ является пустым множеством.

3. Объединяем решения.
Ответ: $x \in (8/9, 1)$.

в)

Решим неравенство $\log_x \frac{10x-9}{6x+11} \ge \log_x \frac{20x-11}{6x+11}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Аргументы логарифмов:
$\frac{10x-9}{6x+11} > 0 \implies x \in (-\infty, -11/6) \cup (9/10, \infty)$.
$\frac{20x-11}{6x+11} > 0 \implies x \in (-\infty, -11/6) \cup (11/20, \infty)$.
Сравнивая $9/10 = 0.9$ и $11/20 = 0.55$, находим пересечение: $x \in (-\infty, -11/6) \cup (9/10, \infty)$.
Объединяя все условия ОДЗ, получаем: $x \in (9/10, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < x < 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (9/10, 1)$.
Функция $\log_x t$ убывает, знак неравенства меняется:
$\frac{10x-9}{6x+11} \le \frac{20x-11}{6x+11}$.
На интервале $(9/10, 1)$ знаменатель $6x+11$ положителен, умножаем на него:
$10x-9 \le 20x-11$
$2 \le 10x$
$x \ge 1/5$.
Пересечение $x \ge 1/5$ с $(9/10, 1)$ дает $x \in (9/10, 1)$.

Случай 2: $x > 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (1, \infty)$.
Функция $\log_x t$ возрастает, знак неравенства сохраняется:
$\frac{10x-9}{6x+11} \ge \frac{20x-11}{6x+11}$.
$10x-9 \ge 20x-11$
$2 \ge 10x$
$x \le 1/5$.
Пересечение $x \le 1/5$ с $(1, \infty)$ является пустым множеством.

3. Объединяем решения.
Ответ: $x \in (9/10, 1)$.

г)

Решим неравенство $\log_x \frac{11x-10}{5x+12} \ge \log_x \frac{17x-12}{5x+12}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Аргументы логарифмов:
$\frac{11x-10}{5x+12} > 0 \implies x \in (-\infty, -12/5) \cup (10/11, \infty)$.
$\frac{17x-12}{5x+12} > 0 \implies x \in (-\infty, -12/5) \cup (12/17, \infty)$.
Сравнивая $10/11 \approx 0.909$ и $12/17 \approx 0.706$, находим пересечение: $x \in (-\infty, -12/5) \cup (10/11, \infty)$.
Объединяя все условия ОДЗ, получаем: $x \in (10/11, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $0 < x < 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (10/11, 1)$.
Функция $\log_x t$ убывает, знак неравенства меняется:
$\frac{11x-10}{5x+12} \le \frac{17x-12}{5x+12}$.
На интервале $(10/11, 1)$ знаменатель $5x+12$ положителен, умножаем на него:
$11x-10 \le 17x-12$
$2 \le 6x$
$x \ge 1/3$.
Пересечение $x \ge 1/3$ с $(10/11, 1)$ дает $x \in (10/11, 1)$.

Случай 2: $x > 1$. С учетом ОДЗ, $x \in (1, \infty)$.
Функция $\log_x t$ возрастает, знак неравенства сохраняется:
$\frac{11x-10}{5x+12} \ge \frac{17x-12}{5x+12}$.
$11x-10 \ge 17x-12$
$2 \ge 6x$
$x \le 1/3$.
Пересечение $x \le 1/3$ с $(1, \infty)$ является пустым множеством.

3. Объединяем решения.
Ответ: $x \in (10/11, 1)$.