Номер 9.70, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.70, страница 265.

Условие.

Решите неравенство (9.70–9.73):

9.70 a) $\arcsin(x^2 - 2x) < \arcsin(x^2 + x - 1);$

б) $\arccos \frac{x - 1}{2} < \arccos(x^2 - 4x + 3);$

в) $\arctan(2x^2 + 1) > \arctan(2x^2 - x);$

г) $\arccot \frac{x - 2}{2} > \arccot \frac{4 - x}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное неравенство: $arcsin(x^2 - 2x) < arcsin(x^2 + x - 1)$.

Функция $y = arcsin(t)$ определена при $t \in [-1, 1]$ и является строго возрастающей на всей области определения. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} -1 \le x^2 - 2x \\ x^2 + x - 1 \le 1 \\ x^2 - 2x < x^2 + x - 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $-1 \le x^2 - 2x \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $x^2 + x - 1 \le 1 \implies x^2 + x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [-2; 1]$.

3) $x^2 - 2x < x^2 + x - 1 \implies -2x < x - 1 \implies 1 < 3x \implies x > \frac{1}{3}$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap [-2; 1] \cap (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Пересечением данных множеств является интервал $(\frac{1}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 1]$.

б) Исходное неравенство: $arccos\frac{x-1}{2} < arccos(x^2 - 4x + 3)$.

Функция $y = arccos(t)$ определена при $t \in [-1, 1]$ и является строго убывающей на всей области определения. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} -1 \le x^2 - 4x + 3 \\ \frac{x-1}{2} \le 1 \\ \frac{x-1}{2} > x^2 - 4x + 3 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $-1 \le x^2 - 4x + 3 \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $\frac{x-1}{2} \le 1 \implies x-1 \le 2 \implies x \le 3$.

3) $\frac{x-1}{2} > x^2 - 4x + 3 \implies x-1 > 2x^2 - 8x + 6 \implies 0 > 2x^2 - 9x + 7 \implies 2x^2 - 9x + 7 < 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x + 7 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$. Корни $x_{1,2} = \frac{9 \pm 5}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{14}{4} = 3.5$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (1; 3.5)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-\infty; 3] \cap (1; 3.5)$.

Пересечением данных множеств является интервал $(1; 3]$.

Ответ: $x \in (1; 3]$.

в) Исходное неравенство: $arctg(2x^2 + 1) > arctg(2x^2 - x)$.

Функция $y = arctg(t)$ определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$ и является строго возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов:

$2x^2 + 1 > 2x^2 - x$

$1 > -x$

$x > -1$

Решением является интервал $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $arcctg\frac{x-2}{2} > arcctg\frac{4-x}{2}$.

Функция $y = arcctg(t)$ определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$ и является строго убывающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов с противоположным знаком:

$\frac{x-2}{2} < \frac{4-x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$x-2 < 4-x$

$2x < 6$

$x < 3$

Решением является интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.