Номер 9.70, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.70, страница 265.
№9.70 (с. 265)
Условие. №9.70 (с. 265)
скриншот условия

Решите неравенство (9.70–9.73):
9.70 a) $\arcsin(x^2 - 2x) < \arcsin(x^2 + x - 1);$
б) $\arccos \frac{x - 1}{2} < \arccos(x^2 - 4x + 3);$
в) $\arctan(2x^2 + 1) > \arctan(2x^2 - x);$
г) $\arccot \frac{x - 2}{2} > \arccot \frac{4 - x}{2}.$
Решение 1. №9.70 (с. 265)




Решение 2. №9.70 (с. 265)



Решение 3. №9.70 (с. 265)

Решение 4. №9.70 (с. 265)
а) Исходное неравенство: $arcsin(x^2 - 2x) < arcsin(x^2 + x - 1)$.
Функция $y = arcsin(t)$ определена при $t \in [-1, 1]$ и является строго возрастающей на всей области определения. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} -1 \le x^2 - 2x \\ x^2 + x - 1 \le 1 \\ x^2 - 2x < x^2 + x - 1 \end{cases} $
Решим каждое неравенство системы:
1) $-1 \le x^2 - 2x \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
2) $x^2 + x - 1 \le 1 \implies x^2 + x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, следовательно, неравенство выполняется при $x \in [-2; 1]$.
3) $x^2 - 2x < x^2 + x - 1 \implies -2x < x - 1 \implies 1 < 3x \implies x > \frac{1}{3}$.
Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap [-2; 1] \cap (\frac{1}{3}; +\infty)$.
Пересечением данных множеств является интервал $(\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 1]$.
б) Исходное неравенство: $arccos\frac{x-1}{2} < arccos(x^2 - 4x + 3)$.
Функция $y = arccos(t)$ определена при $t \in [-1, 1]$ и является строго убывающей на всей области определения. Поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} -1 \le x^2 - 4x + 3 \\ \frac{x-1}{2} \le 1 \\ \frac{x-1}{2} > x^2 - 4x + 3 \end{cases} $
Решим каждое неравенство системы:
1) $-1 \le x^2 - 4x + 3 \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
2) $\frac{x-1}{2} \le 1 \implies x-1 \le 2 \implies x \le 3$.
3) $\frac{x-1}{2} > x^2 - 4x + 3 \implies x-1 > 2x^2 - 8x + 6 \implies 0 > 2x^2 - 9x + 7 \implies 2x^2 - 9x + 7 < 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 9x + 7 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$. Корни $x_{1,2} = \frac{9 \pm 5}{4}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{14}{4} = 3.5$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (1; 3.5)$.
Найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-\infty; 3] \cap (1; 3.5)$.
Пересечением данных множеств является интервал $(1; 3]$.
Ответ: $x \in (1; 3]$.
в) Исходное неравенство: $arctg(2x^2 + 1) > arctg(2x^2 - x)$.
Функция $y = arctg(t)$ определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$ и является строго возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов:
$2x^2 + 1 > 2x^2 - x$
$1 > -x$
$x > -1$
Решением является интервал $(-1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.
г) Исходное неравенство: $arcctg\frac{x-2}{2} > arcctg\frac{4-x}{2}$.
Функция $y = arcctg(t)$ определена для всех действительных чисел $t \in (-\infty; +\infty)$ и является строго убывающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для их аргументов с противоположным знаком:
$\frac{x-2}{2} < \frac{4-x}{2}$
Умножим обе части на 2:
$x-2 < 4-x$
$2x < 6$
$x < 3$
Решением является интервал $(-\infty; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.70 расположенного на странице 265 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.70 (с. 265), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.