Номер 10.2, страница 267 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.2, страница 267.

Условие.

10.2 Определите множество M, на котором равносильны уравнения:

а) $ \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = 0 $ и $ x^2 + x - 2 = 0; $

б) $ \sqrt{x} = 1 $ и $ x^2 = 1; $

в) $ x^3 + 2x^2 - 1 = 0 $ и $ \sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0; $

г) $ x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4 $ и $ x^2 + 5x + 4 = 0; $

д) $ \lg(x^2 - 1) = \lg x $ и $ x^2 - 1 = x; $

е) $ \log_2 x + \log_2(x + 2) = 3 $ и $ \log_2 x(x + 2) = 3; $

ж) $ \log_2 x - \log_2(x - 3) = 2 $ и $ \log_2 \frac{x}{x - 3} = 2; $

з) $ \frac{\sqrt{2x - 3}}{\sqrt{x - 2}} = 1 $ и $ \sqrt{\frac{2x - 3}{x - 2}} = 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Два уравнения называются равносильными на множестве $M$, если множества их решений, принадлежащих множеству $M$, совпадают. Для нахождения множества $M$ мы определим множества решений $S_1$ и $S_2$ для каждого уравнения, а затем найдем наибольшее множество $M$, для которого выполняется условие $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Как правило, это множество также должно быть подмножеством пересечения областей определения обоих уравнений.

а)

Рассмотрим уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ и $x^2+x-2 = 0$.

Для первого уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Уравнение равносильно системе:$\begin{cases} x^2+x-2=0 \\ x \neq -2 \end{cases}$.Корни числителя $x^2+x-2=0$ (или $(x+2)(x-1)=0$) — это $x_1=1$ и $x_2=-2$. Учитывая ОДЗ, единственным решением является $x=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения $S_1 = \{1\}$.

Второе уравнение $x^2+x-2=0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-2$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{-2, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. В данном случае: $\{1\} \cap M = \{-2, 1\} \cap M$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $-2 \notin M$. Наибольшим таким множеством является множество всех действительных чисел, кроме $-2$.

Ответ: $M = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.

б)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x} = 1$ и $x^2 = 1$.

Для первого уравнения $\sqrt{x} = 1$ ОДЗ: $x \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Множество решений $S_1 = \{1\}$.

Для второго уравнения $x^2 = 1$ ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Его решениями являются $x=1$ и $x=-1$. Множество решений $S_2 = \{-1, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $\{1\} \cap M = \{-1, 1\} \cap M$. Это верно, если $-1 \notin M$. Кроме того, для корректности первого уравнения необходимо, чтобы $M$ было подмножеством его ОДЗ, то есть $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ из $M$. Таким образом, наибольшее множество, на котором уравнения равносильны, — это ОДЗ первого уравнения.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

в)

Рассмотрим уравнения $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ и $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$.

Первое уравнение $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ является многочленом и определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Обозначим его множество решений как $S_1$.

Для второго уравнения $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$ ОДЗ: $x \ge 0$. Уравнение распадается на два: $\sqrt{x}=0$ или $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$. Отсюда получаем $x=0$ или $x \in S_1$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем первого уравнения, так как $0^3 + 2(0)^2 - 1 = -1 \neq 0$. Значит, $0 \notin S_1$. Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Подставляя $S_2$, получаем $S_1 \cap M = (\{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))) \cap M$. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы корень $x=0$ не принадлежал множеству решений на $M$, то есть $0 \notin M$. Учитывая, что второе уравнение определено только для $x \ge 0$, получаем, что $M \subseteq (0, \infty)$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

г)

Рассмотрим уравнения $x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4$ и $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Для первого уравнения ОДЗ: $x \ge 0$. На этой области можно вычесть $\sqrt{x}$ из обеих частей, что является равносильным преобразованием. Получаем $x^2 + 5x = -4$, или $x^2 + 5x + 4 = 0$. Корни этого уравнения: $(x+1)(x+4)=0$, то есть $x_1=-1$, $x_2=-4$. Ни один из этих корней не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$). Следовательно, множество решений первого уравнения пусто: $S_1 = \emptyset$.

Второе уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{-1, -4\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$, то есть $\emptyset \cap M = \{-1, -4\} \cap M$. Это означает, что $\{-1, -4\} \cap M = \emptyset$, то есть $-1 \notin M$ и $-4 \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x \ge 0$, то $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ и $-4$. Наибольшим таким множеством является $M = [0, \infty)$.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

д)

Рассмотрим уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ и $x^2 - 1 = x$.

Для первого уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$. Решая систему, получаем $x > 1$. На ОДЗ $(1, \infty)$ уравнение равносильно $x^2 - 1 = x$, или $x^2 - x - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Условию $x>1$ удовлетворяет только корень $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Итак, $S_1 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$.

Второе уравнение $x^2 - 1 = x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Это верно, если $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x>1$, то $M \subseteq (1, \infty)$. Это условие гарантирует, что $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (отрицательное число) не принадлежит $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (1, \infty)$.

Ответ: $M = (1, \infty)$.

е)

Рассмотрим уравнения $\log_2 x + \log_2 (x+2) = 3$ и $\log_2 x(x+2) = 3$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 0$. На ОДЗ $(0, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2(x(x+2)) = 3$, откуда $x(x+2) = 2^3=8$. Решаем $x^2+2x-8=0$, или $(x+4)(x-2)=0$. Корни $x_1=-4, x_2=2$. ОДЗ удовлетворяет только $x=2$. Итак, $S_1 = \{2\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $x(x+2) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$. Решение $x^2+2x-8=0$ дает корни $x_1=-4$ и $x_2=2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Итак, $S_2 = \{-4, 2\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\{2\} \cap M = \{-4, 2\} \cap M$. Это верно, если $-4 \notin M$. Первое уравнение определено только при $x > 0$, поэтому $M \subseteq (0, \infty)$. Это условие исключает $-4$ из $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

ж)

Рассмотрим уравнения $\log_2 x - \log_2 (x-3) = 2$ и $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 3$. На ОДЗ $(3, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$. Отсюда $\frac{x}{x-3} = 2^2=4$. Решаем: $x = 4(x-3) \Rightarrow x=4x-12 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4$. Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ. Итак, $S_1=\{4\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{x}{x-3} > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. Решение $x=4$ также удовлетворяет этой ОДЗ. Итак, $S_2=\{4\}$.

Множества решений $S_1$ и $S_2$ совпадают. Уравнения равносильны на множестве, где они оба определены. Это пересечение их ОДЗ: $M = (3, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) = (3, \infty)$.

Ответ: $M = (3, \infty)$.

з)

Рассмотрим уравнения $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-2}} = 1$ и $\sqrt{\frac{2x-3}{x-2}} = 1$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x > 2 \end{cases}$, то есть $x > 2$. На ОДЗ $(2, \infty)$ возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow 2x-3=x-2 \Rightarrow x=1$. Этот корень не входит в ОДЗ. Значит, $S_1 = \emptyset$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{2x-3}{x-2} \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 1.5] \cup (2, \infty)$. Возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow x=1$. Этот корень входит в ОДЗ. Итак, $S_2 = \{1\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\emptyset \cap M = \{1\} \cap M$. Это верно, если $1 \notin M$. Первое уравнение определено при $x>2$, поэтому $M \subseteq (2, \infty)$. Это условие гарантирует, что $1 \notin M$. Наибольшим таким множеством является $M = (2, \infty)$.

Ответ: $M = (2, \infty)$.