Номер 10.2, страница 267 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.2, страница 267.

№10.2 (с. 267)
Условие. №10.2 (с. 267)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Условие

10.2 Определите множество M, на котором равносильны уравнения:

а) $ \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = 0 $ и $ x^2 + x - 2 = 0; $

б) $ \sqrt{x} = 1 $ и $ x^2 = 1; $

в) $ x^3 + 2x^2 - 1 = 0 $ и $ \sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0; $

г) $ x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4 $ и $ x^2 + 5x + 4 = 0; $

д) $ \lg(x^2 - 1) = \lg x $ и $ x^2 - 1 = x; $

е) $ \log_2 x + \log_2(x + 2) = 3 $ и $ \log_2 x(x + 2) = 3; $

ж) $ \log_2 x - \log_2(x - 3) = 2 $ и $ \log_2 \frac{x}{x - 3} = 2; $

з) $ \frac{\sqrt{2x - 3}}{\sqrt{x - 2}} = 1 $ и $ \sqrt{\frac{2x - 3}{x - 2}} = 1. $

Решение 1. №10.2 (с. 267)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 1 (продолжение 8)
Решение 2. №10.2 (с. 267)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 2
Решение 3. №10.2 (с. 267)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 3 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 267, номер 10.2, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №10.2 (с. 267)

Два уравнения называются равносильными на множестве $M$, если множества их решений, принадлежащих множеству $M$, совпадают. Для нахождения множества $M$ мы определим множества решений $S_1$ и $S_2$ для каждого уравнения, а затем найдем наибольшее множество $M$, для которого выполняется условие $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Как правило, это множество также должно быть подмножеством пересечения областей определения обоих уравнений.

а)

Рассмотрим уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ и $x^2+x-2 = 0$.

Для первого уравнения $\frac{x^2+x-2}{x+2} = 0$ область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Уравнение равносильно системе:$\begin{cases} x^2+x-2=0 \\ x \neq -2 \end{cases}$.Корни числителя $x^2+x-2=0$ (или $(x+2)(x-1)=0$) — это $x_1=1$ и $x_2=-2$. Учитывая ОДЗ, единственным решением является $x=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения $S_1 = \{1\}$.

Второе уравнение $x^2+x-2=0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его корни $x_1=1$ и $x_2=-2$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{-2, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. В данном случае: $\{1\} \cap M = \{-2, 1\} \cap M$. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $-2 \notin M$. Наибольшим таким множеством является множество всех действительных чисел, кроме $-2$.

Ответ: $M = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.

б)

Рассмотрим уравнения $\sqrt{x} = 1$ и $x^2 = 1$.

Для первого уравнения $\sqrt{x} = 1$ ОДЗ: $x \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Множество решений $S_1 = \{1\}$.

Для второго уравнения $x^2 = 1$ ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Его решениями являются $x=1$ и $x=-1$. Множество решений $S_2 = \{-1, 1\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $\{1\} \cap M = \{-1, 1\} \cap M$. Это верно, если $-1 \notin M$. Кроме того, для корректности первого уравнения необходимо, чтобы $M$ было подмножеством его ОДЗ, то есть $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ из $M$. Таким образом, наибольшее множество, на котором уравнения равносильны, — это ОДЗ первого уравнения.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

в)

Рассмотрим уравнения $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ и $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$.

Первое уравнение $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ является многочленом и определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Обозначим его множество решений как $S_1$.

Для второго уравнения $\sqrt{x}(x^3 + 2x^2 - 1) = 0$ ОДЗ: $x \ge 0$. Уравнение распадается на два: $\sqrt{x}=0$ или $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$. Отсюда получаем $x=0$ или $x \in S_1$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем первого уравнения, так как $0^3 + 2(0)^2 - 1 = -1 \neq 0$. Значит, $0 \notin S_1$. Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Подставляя $S_2$, получаем $S_1 \cap M = (\{0\} \cup (S_1 \cap [0, \infty))) \cap M$. Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы корень $x=0$ не принадлежал множеству решений на $M$, то есть $0 \notin M$. Учитывая, что второе уравнение определено только для $x \ge 0$, получаем, что $M \subseteq (0, \infty)$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

г)

Рассмотрим уравнения $x^2 + 5x + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 4$ и $x^2 + 5x + 4 = 0$.

Для первого уравнения ОДЗ: $x \ge 0$. На этой области можно вычесть $\sqrt{x}$ из обеих частей, что является равносильным преобразованием. Получаем $x^2 + 5x = -4$, или $x^2 + 5x + 4 = 0$. Корни этого уравнения: $(x+1)(x+4)=0$, то есть $x_1=-1$, $x_2=-4$. Ни один из этих корней не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$). Следовательно, множество решений первого уравнения пусто: $S_1 = \emptyset$.

Второе уравнение $x^2 + 5x + 4 = 0$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{-1, -4\}$.

Уравнения равносильны на множестве $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$, то есть $\emptyset \cap M = \{-1, -4\} \cap M$. Это означает, что $\{-1, -4\} \cap M = \emptyset$, то есть $-1 \notin M$ и $-4 \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x \ge 0$, то $M \subseteq [0, \infty)$. Это условие автоматически исключает $-1$ и $-4$. Наибольшим таким множеством является $M = [0, \infty)$.

Ответ: $M = [0, \infty)$.

д)

Рассмотрим уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ и $x^2 - 1 = x$.

Для первого уравнения $\lg(x^2 - 1) = \lg x$ ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$. Решая систему, получаем $x > 1$. На ОДЗ $(1, \infty)$ уравнение равносильно $x^2 - 1 = x$, или $x^2 - x - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Условию $x>1$ удовлетворяет только корень $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Итак, $S_1 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$.

Второе уравнение $x^2 - 1 = x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Его множество решений $S_2 = \{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $S_1 \cap M = S_2 \cap M$. Это верно, если $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \notin M$. Так как первое уравнение определено только при $x>1$, то $M \subseteq (1, \infty)$. Это условие гарантирует, что $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (отрицательное число) не принадлежит $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (1, \infty)$.

Ответ: $M = (1, \infty)$.

е)

Рассмотрим уравнения $\log_2 x + \log_2 (x+2) = 3$ и $\log_2 x(x+2) = 3$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 0$. На ОДЗ $(0, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2(x(x+2)) = 3$, откуда $x(x+2) = 2^3=8$. Решаем $x^2+2x-8=0$, или $(x+4)(x-2)=0$. Корни $x_1=-4, x_2=2$. ОДЗ удовлетворяет только $x=2$. Итак, $S_1 = \{2\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $x(x+2) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$. Решение $x^2+2x-8=0$ дает корни $x_1=-4$ и $x_2=2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Итак, $S_2 = \{-4, 2\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\{2\} \cap M = \{-4, 2\} \cap M$. Это верно, если $-4 \notin M$. Первое уравнение определено только при $x > 0$, поэтому $M \subseteq (0, \infty)$. Это условие исключает $-4$ из $M$. Наибольшим таким множеством является $M = (0, \infty)$.

Ответ: $M = (0, \infty)$.

ж)

Рассмотрим уравнения $\log_2 x - \log_2 (x-3) = 2$ и $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$, что дает $x > 3$. На ОДЗ $(3, \infty)$ уравнение равносильно $\log_2 \frac{x}{x-3} = 2$. Отсюда $\frac{x}{x-3} = 2^2=4$. Решаем: $x = 4(x-3) \Rightarrow x=4x-12 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4$. Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ. Итак, $S_1=\{4\}$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{x}{x-3} > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. Решение $x=4$ также удовлетворяет этой ОДЗ. Итак, $S_2=\{4\}$.

Множества решений $S_1$ и $S_2$ совпадают. Уравнения равносильны на множестве, где они оба определены. Это пересечение их ОДЗ: $M = (3, \infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) = (3, \infty)$.

Ответ: $M = (3, \infty)$.

з)

Рассмотрим уравнения $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-2}} = 1$ и $\sqrt{\frac{2x-3}{x-2}} = 1$.

Для первого уравнения ОДЗ: $\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x > 2 \end{cases}$, то есть $x > 2$. На ОДЗ $(2, \infty)$ возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow 2x-3=x-2 \Rightarrow x=1$. Этот корень не входит в ОДЗ. Значит, $S_1 = \emptyset$.

Для второго уравнения ОДЗ: $\frac{2x-3}{x-2} \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 1.5] \cup (2, \infty)$. Возводим в квадрат: $\frac{2x-3}{x-2}=1 \Rightarrow x=1$. Этот корень входит в ОДЗ. Итак, $S_2 = \{1\}$.

Уравнения равносильны на $M$, если $\emptyset \cap M = \{1\} \cap M$. Это верно, если $1 \notin M$. Первое уравнение определено при $x>2$, поэтому $M \subseteq (2, \infty)$. Это условие гарантирует, что $1 \notin M$. Наибольшим таким множеством является $M = (2, \infty)$.

Ответ: $M = (2, \infty)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.2 расположенного на странице 267 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.2 (с. 267), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.