Номер 10.9, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.9, страница 270.

Условие.

10.9* a) $\sqrt{2 - 2\sin^2 \frac{x}{2}} = 1$;

б) $\sqrt{2\cos 3x + 2} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - 2\sin\frac{x}{2}} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2 - 2\sin\frac{x}{2} \ge 0$

$2 \ge 2\sin\frac{x}{2}$

$1 \ge \sin\frac{x}{2}$

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $x$, поскольку область значений синуса от -1 до 1. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$(\sqrt{2 - 2\sin\frac{x}{2}})^2 = 1^2$

$2 - 2\sin\frac{x}{2} = 1$

Выразим $\sin\frac{x}{2}$:

$-2\sin\frac{x}{2} = 1 - 2$

$-2\sin\frac{x}{2} = -1$

$\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{2\cos3x + 2} = 1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем не может быть отрицательным:

$2\cos3x + 2 \ge 0$

$2\cos3x \ge -2$

$\cos3x \ge -1$

Это неравенство верно для любого действительного $x$, так как область значений косинуса $[-1; 1]$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2\cos3x + 2})^2 = 1^2$

$2\cos3x + 2 = 1$

Выразим $\cos3x$:

$2\cos3x = 1 - 2$

$2\cos3x = -1$

$\cos3x = -\frac{1}{2}$

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$3x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Поскольку $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, имеем:

$3x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.