Номер 10.12, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.12, страница 270.

Условие.

10.12* а) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x - 4};$

б) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{2 - x};$

В) $\sqrt[3]{x + 3} = \sqrt{x - 1};$

Г) $\sqrt[3]{x + 2} = \sqrt{-x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{x-4}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$.
Так как правая часть уравнения ($\sqrt{x-4}$) неотрицательна, то и левая часть ($\sqrt[3]{x}$) должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Пересекая условия $x \ge 4$ и $x \ge 0$, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корней: $(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{x-4})^6$
$x^2 = (x-4)^3$

3. Раскроем скобки в правой части и решим полученное уравнение:
$x^2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 - 4^3$
$x^2 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$
$x^3 - 13x^2 + 48x - 64 = 0$

4. Для решения этого кубического уравнения можно сделать замену в исходном уравнении. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = y^3$. С учетом ОДЗ, $y = \sqrt[3]{x} \ge \sqrt[3]{4}$. Исходное уравнение примет вид:
$y = \sqrt{y^3 - 4}$
Возведем обе части в квадрат:
$y^2 = y^3 - 4$
$y^3 - y^2 - 4 = 0$
Подбором находим целый корень среди делителей числа -4. Проверим $y=2$:
$2^3 - 2^2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0$.
Корень $y=2$ удовлетворяет условию $y \ge \sqrt[3]{4}$ (так как $2=\sqrt[3]{8}$ и $8 > 4$).
Разделим многочлен $y^3 - y^2 - 4$ на $(y-2)$:
$(y-2)(y^2+y+2) = 0$
Квадратное уравнение $y^2+y+2=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$.
Следовательно, единственное действительное решение для $y$ - это $y=2$.

5. Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt[3]{x} = 2$
$x = 2^3 = 8$

6. Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 4$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{8} = \sqrt{8-4}$, то есть $2 = \sqrt{4}$, $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: 8.

б) $\sqrt[3]{x} = \sqrt{2-x}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $2-x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Правая часть $\sqrt{2-x} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x} \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
ОДЗ: $0 \le x \le 2$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\sqrt{2-x})^6$
$x^2 = (2-x)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$
$x^3 - 5x^2 + 12x - 8 = 0$

4. Найдем корни кубического уравнения. Попробуем целые корни из делителей числа -8. Проверим $x=1$, который входит в ОДЗ.
$1^3 - 5(1)^2 + 12(1) - 8 = 1 - 5 + 12 - 8 = 0$.
Значит, $x=1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(x-1)(x^2 - 4x + 8) = 0$
Уравнение $x^2 - 4x + 8 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 < 0$.
Единственный действительный корень - это $x=1$.

5. Проверим корень. $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 1 \le 2$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{1} = \sqrt{2-1}$, то есть $1 = \sqrt{1}$, $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 1.

в) $\sqrt[3]{x+3} = \sqrt{x-1}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Правая часть $\sqrt{x-1} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x+3} \ge 0$, откуда $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x+3})^6 = (\sqrt{x-1})^6$
$(x+3)^2 = (x-1)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 6x + 9 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
$x^3 - 4x^2 - 3x - 10 = 0$

4. Найдем корни кубического уравнения. Попробуем целые корни из делителей числа -10. Проверим $x=5$, который входит в ОДЗ.
$5^3 - 4(5)^2 - 3(5) - 10 = 125 - 100 - 15 - 10 = 0$.
Значит, $x=5$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-5)$:
$(x-5)(x^2 + x + 2) = 0$
Уравнение $x^2 + x + 2 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$.
Единственный действительный корень - это $x=5$.

5. Проверим корень. $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 1$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{5+3} = \sqrt{5-1}$, то есть $\sqrt[3]{8} = \sqrt{4}$, $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: 5.

г) $\sqrt[3]{x+2} = \sqrt{-x}$

1. Найдем ОДЗ.
Из-за квадратного корня: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$.
Правая часть $\sqrt{-x} \ge 0$, значит, и левая часть $\sqrt[3]{x+2} \ge 0$, откуда $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
ОДЗ: $-2 \le x \le 0$.

2. Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[3]{x+2})^6 = (\sqrt{-x})^6$
$(x+2)^2 = (-x)^3$

3. Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 4x + 4 = -x^3$
$x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0$

4. Решим кубическое уравнение методом группировки:
$x^2(x+1) + 4(x+1) = 0$
$(x+1)(x^2+4) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$x^2+4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Единственный действительный корень - это $x=-1$.

5. Проверим корень. $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \le -1 \le 0$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt[3]{-1+2} = \sqrt{-(-1)}$, то есть $\sqrt[3]{1} = \sqrt{1}$, $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: -1.