Номер 10.17, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.17, страница 273.

Условие.

10.17 a) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Левая часть уравнения напоминает последовательное применение этой формулы. Чтобы "свернуть" выражение, не хватает множителя $(x+1)$.

Прежде чем умножать уравнение на $(x+1)$, необходимо проверить, не является ли $x=-1$ (корень выражения $x+1=0$) решением исходного уравнения. Подставим $x=-1$ в уравнение:

$(-1-1)((-1)^2+1)((-1)^4+1) = (-1)^7$

$(-2)(1+1)(1+1) = -1$

$(-2)(2)(2) = -1$

$-8 = -1$

Равенство неверное, значит $x=-1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x+1)$, зная, что $x+1 \neq 0$.

$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

Применяем формулу разности квадратов к левой части последовательно:

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x+1)$

$x^8-1 = x^7(x+1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^8-1 = x^8+x^7$

Вычтем $x^8$ из обеих частей:

$-1 = x^7$

Отсюда $x = \sqrt[7]{-1}$, что дает $x=-1$.

Мы получили единственный возможный корень $x=-1$. Однако, как мы установили ранее, он не удовлетворяет исходному уравнению. Этот корень является посторонним, он появился в результате умножения уравнения на множитель $(x+1)$. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$

Это уравнение похоже на предыдущее. Чтобы применить формулу разности квадратов, умножим обе части на $(x-1)$.

Сначала проверим, является ли $x=1$ (корень выражения $x-1=0$) решением. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$(1+1)(1^2+1)(1^4+1) = 1^7$

$(2)(1+1)(1+1) = 1$

$(2)(2)(2) = 1$

$8 = 1$

Равенство неверное, значит $x=1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x-1)$, зная, что $x-1 \neq 0$.

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

Применяем формулу разности квадратов к левой части:

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x-1)$

$x^8-1 = x^7(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$x^8-1 = x^8-x^7$

Вычтем $x^8$ из обеих частей:

$-1 = -x^7$

$x^7 = 1$

Отсюда $x = \sqrt[7]{1}$, что дает $x=1$.

Мы получили единственный возможный корень $x=1$. Но, как было проверено, он не является решением исходного уравнения. Этот корень является посторонним, так как был внесен умножением на $(x-1)$. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.