Номер 10.17, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.17, страница 273.
№10.17 (с. 273)
Условие. №10.17 (с. 273)
скриншот условия

10.17 a) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$
б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$
Решение 1. №10.17 (с. 273)


Решение 2. №10.17 (с. 273)

Решение 3. №10.17 (с. 273)


Решение 4. №10.17 (с. 273)
а) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Левая часть уравнения напоминает последовательное применение этой формулы. Чтобы "свернуть" выражение, не хватает множителя $(x+1)$.
Прежде чем умножать уравнение на $(x+1)$, необходимо проверить, не является ли $x=-1$ (корень выражения $x+1=0$) решением исходного уравнения. Подставим $x=-1$ в уравнение:
$(-1-1)((-1)^2+1)((-1)^4+1) = (-1)^7$
$(-2)(1+1)(1+1) = -1$
$(-2)(2)(2) = -1$
$-8 = -1$
Равенство неверное, значит $x=-1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x+1)$, зная, что $x+1 \neq 0$.
$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$
Применяем формулу разности квадратов к левой части последовательно:
$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x+1)$
$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x+1)$
$x^8-1 = x^7(x+1)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^8-1 = x^8+x^7$
Вычтем $x^8$ из обеих частей:
$-1 = x^7$
Отсюда $x = \sqrt[7]{-1}$, что дает $x=-1$.
Мы получили единственный возможный корень $x=-1$. Однако, как мы установили ранее, он не удовлетворяет исходному уравнению. Этот корень является посторонним, он появился в результате умножения уравнения на множитель $(x+1)$. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
б) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7$
Это уравнение похоже на предыдущее. Чтобы применить формулу разности квадратов, умножим обе части на $(x-1)$.
Сначала проверим, является ли $x=1$ (корень выражения $x-1=0$) решением. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:
$(1+1)(1^2+1)(1^4+1) = 1^7$
$(2)(1+1)(1+1) = 1$
$(2)(2)(2) = 1$
$8 = 1$
Равенство неверное, значит $x=1$ не является корнем. Теперь мы можем умножить обе части уравнения на $(x-1)$, зная, что $x-1 \neq 0$.
$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$
Применяем формулу разности квадратов к левой части:
$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1) = x^7(x-1)$
$(x^4-1)(x^4+1) = x^7(x-1)$
$x^8-1 = x^7(x-1)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^8-1 = x^8-x^7$
Вычтем $x^8$ из обеих частей:
$-1 = -x^7$
$x^7 = 1$
Отсюда $x = \sqrt[7]{1}$, что дает $x=1$.
Мы получили единственный возможный корень $x=1$. Но, как было проверено, он не является решением исходного уравнения. Этот корень является посторонним, так как был внесен умножением на $(x-1)$. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.17 расположенного на странице 273 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.17 (с. 273), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.