Номер 10.21, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.21, страница 273.

Условие.

10.21 a) $3 \cos x + 4 \sin x = 0;$

Б) $2 \sin x - \cos x = 0;$

В) $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

Г) $3 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение $3 \cos x + 4 \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени вида $a \cos x + b \sin x = 0$. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это действие является корректным, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из исходного уравнения следует, что $4 \sin x = 0$, а значит, и $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{3 \cos x}{\cos x} + \frac{4 \sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$3 + 4 \tan x = 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$4 \tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, ответ можно записать в виде:

$x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $2 \sin x - \cos x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$2 \tan x - 1 = 0$

$2 \tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени вида $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$. Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, уравнение принимает вид $2 \sin^2 x - 0 + 0 = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это невозможно, поэтому $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - 3 \tan x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда уравнение становится квадратным относительно $t$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tan x = t_1 = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = t_2 = \frac{1}{2} \implies x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $3 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Аналогично предыдущему пункту, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3 \tan^2 x - 5 \tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Вернемся к замене:

1) $\tan x = t_1 = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = t_2 = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.