Номер 10.24, страница 276 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.24, страница 276.

Условие.

Решите уравнение (10.24—10.30):

10.24 a) $ \lg (x^2 - 4) = \lg (x - 1);$

б) $ \log_2 (x^2 - 9) = \log_2 (2 - x) + 1;$

в) $ \lg 3x^2 = \lg (2x + 1);$

г) $ \log_2 (16 - x^2) = \log_2 (1 + x) + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\lg(x^2 - 4) = \lg(x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Пересечением этих условий является промежуток $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Так как основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:
$x^2 - 4 = x - 1$
$x^2 - x - 3 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

4. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x > 2$):
Для $x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $4 < 1 + \sqrt{13} < 5$, и $\frac{4}{2} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2} < \frac{5}{2}$. То есть, $2 < x_1 < 2.5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Для $x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$: так как $\sqrt{13} > 1$, то $1 - \sqrt{13} < 0$, следовательно, $x_2 < 0$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

б) $\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2 - x) + 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases}$
$x^2 - 9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.
$2 - x > 0 \implies x < 2$.
Пересечением этих условий является промежуток $x < -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty; -3)$.

2. Преобразуем уравнение, представив 1 как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2 - x) + \log_2 2$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2(x^2 - 9) = \log_2(2(2 - x))$
Приравняем аргументы:
$x^2 - 9 = 2(2 - x)$
$x^2 - 9 = 4 - 2x$
$x^2 + 2x - 13 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -1 \pm \sqrt{14}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{14}$
$x_2 = -1 - \sqrt{14}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x < -3$):
Для $x_1 = -1 + \sqrt{14}$: так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $2 < -1 + \sqrt{14} < 3$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Для $x_2 = -1 - \sqrt{14}$: так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $-5 < -1 - \sqrt{14} < -4$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -3$.

Ответ: $-1 - \sqrt{14}$.

в) $\lg 3x^2 = \lg(2x + 1)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x^2 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases}$
$3x^2 > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
$2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.
ОДЗ: $x \in (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Приравняем аргументы логарифмов:
$3x^2 = 2x + 1$
$3x^2 - 2x - 1 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1$
$x_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ:
$x_1 = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$.
$x_2 = -1/3$. Корень удовлетворяет ОДЗ, так как $-0.5 < -1/3 < 0$.
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $1; -\frac{1}{3}$.

г) $\log_2(16 - x^2) = \log_2(1 + x) + 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 16 - x^2 > 0 \\ 1 + x > 0 \end{cases}$
$16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16 \implies -4 < x < 4$.
$1 + x > 0 \implies x > -1$.
Пересечением является интервал $(-1; 4)$. ОДЗ: $x \in (-1; 4)$.

2. Преобразуем уравнение:
$\log_2(16 - x^2) = \log_2(1 + x) + \log_2 2$
$\log_2(16 - x^2) = \log_2(2(1 + x))$
$16 - x^2 = 2 + 2x$
$x^2 + 2x - 14 = 0$

3. Решим квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 4 + 56 = 60$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}$.
$x_1 = -1 + \sqrt{15}$
$x_2 = -1 - \sqrt{15}$

4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-1; 4)$):
Для $x_1 = -1 + \sqrt{15}$: так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $2 < -1 + \sqrt{15} < 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
Для $x_2 = -1 - \sqrt{15}$: так как $\sqrt{15} > 0$, то $-1 - \sqrt{15} < -1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $-1 + \sqrt{15}$.