Номер 10.27, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.27, страница 277.
№10.27 (с. 277)
Условие. №10.27 (с. 277)
скриншот условия

10.27 a) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1);$
б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x);$
в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x;$
г) $x^2 - \log_5 (-x) = -6x - \log_5 (-x).$
Решение 1. №10.27 (с. 277)




Решение 2. №10.27 (с. 277)

Решение 4. №10.27 (с. 277)
а) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1)$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.
2. В обеих частях уравнения присутствует одинаковый член $\log_2(x + 1)$. Вычтем его из обеих частей уравнения:
$x^2 + 2x + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1)$
$x^2 + 2x = 15$
3. Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > -1$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > -1$, поэтому является посторонним.
Ответ: $3$
б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x)$
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$1 - x > 0$
$1 > x$ или $x < 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1)$.
2. Прибавим $\log_3(1 - x)$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить логарифмические члены:
$x^2 - 6x - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x)$
$x^2 - 6x = 7$
3. Приведем полученное квадратное уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 7 = 0$
4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 6$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 1$):
Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 < 1$, поэтому является посторонним.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1 < 1$.
Ответ: $-1$
в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x$
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
2. Вычтем $\log_4 x$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + \log_4 x - \log_4 x = 7x + \log_4 x - \log_4 x$
$x^2 = 7x$
3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$.
4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 0$.
Ответ: $7$
г) $x^2 - \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x)$
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$-x > 0$
$x < 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.
2. Прибавим $\log_5(-x)$ к обеим частям уравнения:
$x^2 - \log_5(-x) + \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x) + \log_5(-x)$
$x^2 = -6x$
3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$.
4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 < 0$.
Ответ: $-6$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.27 расположенного на странице 277 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.27 (с. 277), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.