Номер 10.27, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.27, страница 277.

Условие.

10.27 a) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1);$

б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x);$

в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x;$

г) $x^2 - \log_5 (-x) = -6x - \log_5 (-x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^2 + 2x + \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

2. В обеих частях уравнения присутствует одинаковый член $\log_2(x + 1)$. Вычтем его из обеих частей уравнения:
$x^2 + 2x + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1) = 15 + \log_2(x + 1) - \log_2(x + 1)$
$x^2 + 2x = 15$

3. Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 2x - 15 = 0$

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > -1$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > -1$, поэтому является посторонним.

Ответ: $3$

б) $x^2 - 6x - \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x)$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$1 - x > 0$
$1 > x$ или $x < 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1)$.

2. Прибавим $\log_3(1 - x)$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить логарифмические члены:
$x^2 - 6x - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x) = 7 - \log_3(1 - x) + \log_3(1 - x)$
$x^2 - 6x = 7$

3. Приведем полученное квадратное уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 7 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 6$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -7$.
Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 1$):
Корень $x_1 = 7$ не удовлетворяет условию $7 < 1$, поэтому является посторонним.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $-1 < 1$.

Ответ: $-1$

в) $x^2 + \log_4 x = 7x + \log_4 x$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

2. Вычтем $\log_4 x$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + \log_4 x - \log_4 x = 7x + \log_4 x - \log_4 x$
$x^2 = 7x$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 0$.

Ответ: $7$

г) $x^2 - \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x)$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$-x > 0$
$x < 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

2. Прибавим $\log_5(-x)$ к обеим частям уравнения:
$x^2 - \log_5(-x) + \log_5(-x) = -6x - \log_5(-x) + \log_5(-x)$
$x^2 = -6x$

3. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$.

4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x < 0$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, так как неравенство строгое. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 < 0$.

Ответ: $-6$