Номер 10.29, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.29, страница 277.

Условие.

10.29 a) $log_3 x = 4 - 3log_x 3;$

B) $log_3 x - 2 = 3log_x 3;$

б) $log_4 x + 2 = 3log_x 4;$

г) $log_2 x + 6log_x 2 = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\log_3 x = 4 - 3\log_x 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \ne 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Заменим $\log_x 3$ на $\frac{1}{\log_3 x}$:
$\log_3 x = 4 - 3 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид:
$y = 4 - \frac{3}{y}$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \ne 0$, что соответствует $x \ne 1$):
$y^2 = 4y - 3$
$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 4$
$y_1 \cdot y_2 = 3$
Отсюда корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$).
Ответ: $x=3, x=27$.

б) $\log_4 x + 2 = 3\log_x 4$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 4$ на $\frac{1}{\log_4 x}$:
$\log_4 x + 2 = 3 \cdot \frac{1}{\log_4 x}$

Сделаем замену $y = \log_4 x$ ($y \ne 0$):
$y + 2 = \frac{3}{y}$

Умножим на $y$:
$y^2 + 2y = 3$
$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_4 x = 1 \implies x = 4^1 = 4$.
2) $\log_4 x = -3 \implies x = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=4, x=\frac{1}{64}$.

в) $\log_3 x - 2 = 3\log_x 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 3$ на $\frac{1}{\log_3 x}$:
$\log_3 x - 2 = 3 \cdot \frac{1}{\log_3 x}$

Сделаем замену $y = \log_3 x$ ($y \ne 0$):
$y - 2 = \frac{3}{y}$

Умножим на $y$:
$y^2 - 2y = 3$
$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
2) $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=27, x=\frac{1}{3}$.

г) $\log_2 x + 6\log_x 2 = 5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Заменим $\log_x 2$ на $\frac{1}{\log_2 x}$:
$\log_2 x + 6 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = 5$

Сделаем замену $y = \log_2 x$ ($y \ne 0$):
$y + \frac{6}{y} = 5$

Умножим на $y$:
$y^2 + 6 = 5y$
$y^2 - 5y + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 5$
$y_1 \cdot y_2 = 6$
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2) $\log_2 x = 3 \implies x = 2^3 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=4, x=8$.