Номер 10.22, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.22, страница 273.

Условие.

10.22 a) $4 \cos x \cos 2x = 1;$

B) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1;$

б) $4 \cos x \cos 2x = -1;$

Г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $4 \cos x \cos 2x = 1$

Воспользуемся формулой произведения косинусов $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.

$2 \cdot (2 \cos 2x \cos x) = 1$

$2 (\cos(2x - x) + \cos(2x + x)) = 1$

$2 (\cos x + \cos 3x) = 1$

Применим формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.

$2 \cos x + 2 (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 1$

$2 \cos x + 8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$

$8 \cos^3 x - 4 \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$8t^3 - 4t - 1 = 0$

Подбором находим один из корней: $t_1 = -1/2$, так как $8(-1/8) - 4(-1/2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.

Разделив многочлен $8t^3 - 4t - 1$ на $2t + 1$, получим $4t^2 - 2t - 1$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(2t + 1)(4t^2 - 2t - 1) = 0$.

Решаем два уравнения:

1) $2t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1/2$.

2) $4t^2 - 2t - 1 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.

$t_{2,3} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(\pi/5)$.

$x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(3\pi/5)$.

$x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \cos x \cos 2x = -1$

Преобразования аналогичны пункту а):

$2(\cos x + \cos 3x) = -1$

$2 \cos x + 2(4 \cos^3 x - 3 \cos x) = -1$

$8 \cos^3 x - 4 \cos x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$.

$8t^3 - 4t + 1 = 0$

Подбором находим корень $t_1 = 1/2$. Разделив многочлен на $2t - 1$, получим $4t^2 + 2t - 1$.

Уравнение принимает вид $(2t - 1)(4t^2 + 2t - 1) = 0$.

1) $2t - 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1/2$.

2) $4t^2 + 2t - 1 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.

$t_{2,3} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\cos x = 1/2 \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(2\pi/5)$.

$x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(4\pi/5)$.

$x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1$

Проверим, может ли $\sin x$ быть равным нулю. Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\cos x = (-1)^n$, $\cos 2x = 1$, $\cos 4x = 1$. Уравнение примет вид $8(-1)^n = 1$, что не имеет решений. Следовательно, $\sin x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $\sin x$:

$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$4 (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$4 \sin 2x \cos 2x \cos 4x = \sin x$

$2 (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x = \sin x$

$2 \sin 4x \cos 4x = \sin x$

$\sin 8x = \sin x$

Это уравнение равносильно двум сериям решений:

1) $8x = x + 2\pi k \implies 7x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8x = \pi - x + 2\pi k \implies 9x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

Так как мы умножали на $\sin x$, нужно исключить корни, для которых $\sin x=0$, то есть $x = \pi m$.

Для первой серии: $\frac{2\pi k}{7} = \pi m \implies 2k=7m$. Так как 2 и 7 взаимно просты, $k$ должно быть кратно 7. Исключаем $k=7m$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{9} = \pi m \implies 1+2k=9m \implies 2k \equiv -1 \pmod 9 \implies k \equiv 4 \pmod 9$. Исключаем $k=9m+4$.

Итоговые решения:

$x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi n$.

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 4 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1$

Как и в предыдущем пункте, $\sin x \neq 0$. Умножим обе части на $\sin x$:

$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = -\sin x$

$\sin 8x = -\sin x$

$\sin 8x = \sin(-x)$

Это уравнение равносильно двум сериям решений:

1) $8x = -x + 2\pi k \implies 9x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $8x = \pi - (-x) + 2\pi k \implies 7x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

Исключаем корни, для которых $\sin x=0$.

Для первой серии: $\frac{2\pi k}{9} = \pi m \implies 2k=9m \implies k$ кратно 9. Исключаем $k=9m$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{7} = \pi m \implies 1+2k=7m \implies 2k \equiv -1 \pmod 7 \implies k \equiv 3 \pmod 7$. Исключаем $k=7m+3$.

Итоговые решения:

$x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi n$.

$x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 3 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.