Номер 10.22, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.22, страница 273.
№10.22 (с. 273)
Условие. №10.22 (с. 273)
скриншот условия

10.22 a) $4 \cos x \cos 2x = 1;$
B) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1;$
б) $4 \cos x \cos 2x = -1;$
Г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1.$
Решение 1. №10.22 (с. 273)




Решение 2. №10.22 (с. 273)





Решение 4. №10.22 (с. 273)
а) $4 \cos x \cos 2x = 1$
Воспользуемся формулой произведения косинусов $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
$2 \cdot (2 \cos 2x \cos x) = 1$
$2 (\cos(2x - x) + \cos(2x + x)) = 1$
$2 (\cos x + \cos 3x) = 1$
Применим формулу косинуса тройного угла $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$.
$2 \cos x + 2 (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 1$
$2 \cos x + 8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$
$8 \cos^3 x - 4 \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$8t^3 - 4t - 1 = 0$
Подбором находим один из корней: $t_1 = -1/2$, так как $8(-1/8) - 4(-1/2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$.
Разделив многочлен $8t^3 - 4t - 1$ на $2t + 1$, получим $4t^2 - 2t - 1$.
Таким образом, уравнение принимает вид $(2t + 1)(4t^2 - 2t - 1) = 0$.
Решаем два уравнения:
1) $2t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = -1/2$.
2) $4t^2 - 2t - 1 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.
$t_{2,3} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(\pi/5)$.
$x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3) $\cos x = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$. Это табличное значение для $\cos(3\pi/5)$.
$x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) $4 \cos x \cos 2x = -1$
Преобразования аналогичны пункту а):
$2(\cos x + \cos 3x) = -1$
$2 \cos x + 2(4 \cos^3 x - 3 \cos x) = -1$
$8 \cos^3 x - 4 \cos x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$.
$8t^3 - 4t + 1 = 0$
Подбором находим корень $t_1 = 1/2$. Разделив многочлен на $2t - 1$, получим $4t^2 + 2t - 1$.
Уравнение принимает вид $(2t - 1)(4t^2 + 2t - 1) = 0$.
1) $2t - 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1/2$.
2) $4t^2 + 2t - 1 = 0$. $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 20$.
$t_{2,3} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\cos x = 1/2 \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(2\pi/5)$.
$x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
3) $\cos x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$. Это значение $\cos(4\pi/5)$.
$x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{5} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
в) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = 1$
Проверим, может ли $\sin x$ быть равным нулю. Если $\sin x = 0$, то $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Тогда $\cos x = (-1)^n$, $\cos 2x = 1$, $\cos 4x = 1$. Уравнение примет вид $8(-1)^n = 1$, что не имеет решений. Следовательно, $\sin x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sin x$:
$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = \sin x$
$4 (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x = \sin x$
$4 \sin 2x \cos 2x \cos 4x = \sin x$
$2 (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x = \sin x$
$2 \sin 4x \cos 4x = \sin x$
$\sin 8x = \sin x$
Это уравнение равносильно двум сериям решений:
1) $8x = x + 2\pi k \implies 7x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.
2) $8x = \pi - x + 2\pi k \implies 9x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.
Так как мы умножали на $\sin x$, нужно исключить корни, для которых $\sin x=0$, то есть $x = \pi m$.
Для первой серии: $\frac{2\pi k}{7} = \pi m \implies 2k=7m$. Так как 2 и 7 взаимно просты, $k$ должно быть кратно 7. Исключаем $k=7m$.
Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{9} = \pi m \implies 1+2k=9m \implies 2k \equiv -1 \pmod 9 \implies k \equiv 4 \pmod 9$. Исключаем $k=9m+4$.
Итоговые решения:
$x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi + 2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 4 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{6\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{7\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
г) $8 \cos x \cos 2x \cos 4x = -1$
Как и в предыдущем пункте, $\sin x \neq 0$. Умножим обе части на $\sin x$:
$8 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x = -\sin x$
$\sin 8x = -\sin x$
$\sin 8x = \sin(-x)$
Это уравнение равносильно двум сериям решений:
1) $8x = -x + 2\pi k \implies 9x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.
2) $8x = \pi - (-x) + 2\pi k \implies 7x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.
Исключаем корни, для которых $\sin x=0$.
Для первой серии: $\frac{2\pi k}{9} = \pi m \implies 2k=9m \implies k$ кратно 9. Исключаем $k=9m$.
Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{7} = \pi m \implies 1+2k=7m \implies 2k \equiv -1 \pmod 7 \implies k \equiv 3 \pmod 7$. Исключаем $k=7m+3$.
Итоговые решения:
$x = \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 0 \pmod 9 \implies x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi n; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi n$.
$x = \frac{\pi + 2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}, k \not\equiv 3 \pmod 7 \implies x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi n; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi n$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{3\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{5\pi}{7} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{4\pi}{9} + 2\pi k; x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; x = \pm \frac{8\pi}{9} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.22 расположенного на странице 273 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.22 (с. 273), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.