Номер 10.25, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.25, страница 277.

Условие.

10.25 а) $ \log_2 x = \log_4 (x + 2); $

б) $ \log_9 (x + 8) = \log_3 (x + 2); $

в) $ \log_{25} (9x + 7) = \log_5 (3 + x); $

г) $ \log_4 (x + 9) = \log_2 (x - 3); $

д) $ \log_2 (x + 3) - \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = 4; $

е) $ \log_3 (x + 2) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_2 x = \log_4 (x + 2)$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$\left\{\begin{aligned}x > 0 \\x + 2 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > 0 \\x > -2\end{aligned}\right. \Rightarrow x > 0$.
Приведем логарифм в правой части к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_4 (x + 2) = \log_{2^2} (x + 2) = \frac{1}{2} \log_2 (x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 x = \frac{1}{2} \log_2 (x + 2)$
$2 \log_2 x = \log_2 (x + 2)$
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:
$\log_2 x^2 = \log_2 (x + 2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 0$).
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 0$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 0$, это посторонний корень.
Ответ: $x = 2$.

б) $\log_9 (x + 8) = \log_3 (x + 2)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}x + 8 > 0 \\x + 2 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -8 \\x > -2\end{aligned}\right. \Rightarrow x > -2$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 3:
$\log_9 (x + 8) = \log_{3^2} (x + 8) = \frac{1}{2} \log_3 (x + 8)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_3 (x + 8) = \log_3 (x + 2)$
$\log_3 (x + 8) = 2 \log_3 (x + 2)$
$\log_3 (x + 8) = \log_3 (x + 2)^2$
Приравниваем аргументы:
$x + 8 = (x + 2)^2$
$x + 8 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -2$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 > -2$, это посторонний корень.
Ответ: $x = 1$.

в) $\log_{25} (9x + 7) = \log_5 (3 + x)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}9x + 7 > 0 \\3 + x > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -7/9 \\x > -3\end{aligned}\right. \Rightarrow x > -7/9$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 5:
$\log_{25} (9x + 7) = \log_{5^2} (9x + 7) = \frac{1}{2} \log_5 (9x + 7)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_5 (9x + 7) = \log_5 (3 + x)$
$\log_5 (9x + 7) = 2 \log_5 (3 + x)$
$\log_5 (9x + 7) = \log_5 (3 + x)^2$
Приравниваем аргументы:
$9x + 7 = (3 + x)^2$
$9x + 7 = 9 + 6x + x^2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -7/9$).
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > -7/9$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет условию $2 > -7/9$.
Оба корня подходят.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

г) $\log_4 (x + 9) = \log_2 (x - 3)$
Найдем ОДЗ:
$\left\{\begin{aligned}x + 9 > 0 \\x - 3 > 0\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}x > -9 \\x > 3\end{aligned}\right. \Rightarrow x > 3$.
Приведем логарифм в левой части к основанию 2:
$\log_4 (x + 9) = \log_{2^2} (x + 9) = \frac{1}{2} \log_2 (x + 9)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \log_2 (x + 9) = \log_2 (x - 3)$
$\log_2 (x + 9) = 2 \log_2 (x - 3)$
$\log_2 (x + 9) = \log_2 (x - 3)^2$
Приравниваем аргументы:
$x + 9 = (x - 3)^2$
$x + 9 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 3$).
$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 > 3$, это посторонний корень.
$x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 3$.
Ответ: $x = 7$.

д) $\log_2 (x + 3) - \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = 4$
Найдем ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Приведем второй логарифм к основанию 2, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и то, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$:
$\log_{\frac{1}{2}} (x + 3) = \log_{2^{-1}} (x + 3) = \frac{1}{-1} \log_2 (x + 3) = -\log_2 (x + 3)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_2 (x + 3) - (-\log_2 (x + 3)) = 4$
$\log_2 (x + 3) + \log_2 (x + 3) = 4$
$2 \log_2 (x + 3) = 4$
$\log_2 (x + 3) = 2$
По определению логарифма:
$x + 3 = 2^2$
$x + 3 = 4$
$x = 1$
Проверим корень по ОДЗ ($x > -3$).
$x = 1$ удовлетворяет условию $1 > -3$.
Ответ: $x = 1$.

е) $\log_3 (x + 2) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = 2$
Найдем ОДЗ: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Приведем второй логарифм к основанию 3, используя то, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$:
$\log_{\frac{1}{3}} (x + 2) = \log_{3^{-1}} (x + 2) = -\log_3 (x + 2)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\log_3 (x + 2) - (-\log_3 (x + 2)) = 2$
$\log_3 (x + 2) + \log_3 (x + 2) = 2$
$2 \log_3 (x + 2) = 2$
$\log_3 (x + 2) = 1$
По определению логарифма:
$x + 2 = 3^1$
$x + 2 = 3$
$x = 1$
Проверим корень по ОДЗ ($x > -2$).
$x = 1$ удовлетворяет условию $1 > -2$.
Ответ: $x = 1$.