Номер 10.20, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.20, страница 273.

Условие.

10.20* a) $27 \cdot 7^{x+3} = 147^x;$

Б) $6^x \cdot 5^{x-2} = 9 \cdot 2^x;$

В) $5^{x+1} - 4 \cdot 6^x = 6^{x-1} - 5^x;$

Г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 25^x - 4^{x+1};$

Д) $\frac{2^{x+1} + 2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x + 3^{x+1}}{3^x};$

е) $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 6^x}{4^x} = \frac{2^x + 6^x}{2^x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $27 \cdot 7^{x+3} = 147^x$

Разложим числа 27 и 147 на простые множители: $27 = 3^3$, $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$3^3 \cdot 7^{x+3} = (3 \cdot 7^2)^x$
Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $a^{m+n} = a^m a^n$:
$3^3 \cdot 7^x \cdot 7^3 = 3^x \cdot (7^2)^x$
$3^3 \cdot 7^x \cdot 7^3 = 3^x \cdot 7^{2x}$
Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^x$ и на $7^{x+3}$ (эти выражения не равны нулю):
$\frac{3^3}{3^x} = \frac{7^{2x}}{7^{x+3}}$
Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{3-x} = 7^{2x - (x+3)}$
$3^{3-x} = 7^{x-3}$
Перепишем правую часть, используя тождество $x-3 = -(3-x)$ и свойство $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$:
$3^{3-x} = 7^{-(3-x)}$
$3^{3-x} = (\frac{1}{7})^{3-x}$
Так как основания степеней $3$ и $\frac{1}{7}$ не равны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю:
$3-x = 0$
$x=3$

Ответ: $x=3$.

б) $6^x \cdot 5^{x-2} = 9 \cdot 2^x$

Представим основания 6 и число 9 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$.
$(2 \cdot 3)^x \cdot 5^{x-2} = 3^2 \cdot 2^x$
$2^x \cdot 3^x \cdot 5^x \cdot 5^{-2} = 3^2 \cdot 2^x$
Так как $2^x > 0$ для любого $x$, разделим обе части на $2^x$:
$3^x \cdot 5^x \cdot \frac{1}{25} = 9$
Сгруппируем члены с одинаковым показателем степени, используя свойство $a^n b^n = (ab)^n$:
$(3 \cdot 5)^x \cdot \frac{1}{25} = 9$
$15^x = 9 \cdot 25$
$15^x = 225$
Так как $225 = 15^2$, получаем:
$15^x = 15^2$
$x=2$

Ответ: $x=2$.

в) $5^{x+1} - 4 \cdot 6^x = 6^{x-1} - 5^x$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$5^{x+1} + 5^x = 6^{x-1} + 4 \cdot 6^x$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой части:
$5^x \cdot 5^1 + 5^x = 6^x \cdot 6^{-1} + 4 \cdot 6^x$
$5^x(5+1) = 6^x(\frac{1}{6} + 4)$
$6 \cdot 5^x = 6^x(\frac{1+24}{6})$
$6 \cdot 5^x = \frac{25}{6} \cdot 6^x$
Разделим обе части на $6^x$ (не равно нулю) и на 6:
$\frac{5^x}{6^x} = \frac{25}{6 \cdot 6}$
$(\frac{5}{6})^x = \frac{25}{36}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{6}$:
$(\frac{5}{6})^x = (\frac{5}{6})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x=2$

Ответ: $x=2$.

г) $5^{2x-1} + 2^{2x} = 25^x - 4^{x+1}$

Приведем все степени к основаниям 2 и 5: $25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$, $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$.
Подставим в уравнение:
$5^{2x-1} + 2^{2x} = 5^{2x} - 2^{2x+2}$
Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:
$2^{2x} + 2^{2x+2} = 5^{2x} - 5^{2x-1}$
Вынесем общие множители за скобки:
$2^{2x}(1 + 2^2) = 5^{2x}(1 - 5^{-1})$
$2^{2x}(1+4) = 5^{2x}(1 - \frac{1}{5})$
$5 \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \cdot \frac{4}{5}$
Разделим обе части, чтобы сгруппировать степени и числа:
$\frac{5}{4/5} = \frac{5^{2x}}{2^{2x}}$
$\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^{2x}$
Представим левую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{2}$:
$(\frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^{2x}$
Приравниваем показатели:
$2 = 2x$
$x=1$

Ответ: $x=1$.

д) $\frac{2^{x+1} + 2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x + 3^{x+1}}{3^x}$

Разделим почленно числитель каждой дроби на ее знаменатель:
$\frac{2^{x+1}}{2^x} + \frac{2 \cdot 3^x}{2^x} = \frac{3 \cdot 2^x}{3^x} + \frac{3^{x+1}}{3^x}$
$2^{x+1-x} + 2 \cdot (\frac{3}{2})^x = 3 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3^{x+1-x}$
$2 + 2 \cdot (\frac{3}{2})^x = 3 \cdot (\frac{2}{3})^x + 3$
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Тогда $(\frac{2}{3})^x = t^{-1} = \frac{1}{t}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$2 + 2t = 3 \cdot \frac{1}{t} + 3$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$2t + 2t^2 = 3 + 3t$
Перенесем все члены в одну часть и получим квадратное уравнение:
$2t^2 - t - 3 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{1-5}{4} = -1$
Так как $t>0$, корень $t_2=-1$ является посторонним.
Вернемся к замене:
$(\frac{3}{2})^x = t = \frac{3}{2}$
$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^1$
$x=1$

Ответ: $x=1$.

е) $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 6^x}{4^x} = \frac{2^x + 6^x}{2^x}$

Упростим обе части уравнения. В левой части представим $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $6^x = 2^x \cdot 3^x$. В правой части разделим почленно.
Левая часть: $\frac{2^{x+2} + 4 \cdot 2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{2^x \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{4 \cdot 2^x (1+3^x)}{2^{2x}} = \frac{4(1+3^x)}{2^x}$.
Правая часть: $\frac{2^x}{2^x} + \frac{6^x}{2^x} = 1 + (\frac{6}{2})^x = 1+3^x$.
Приравняем упрощенные части:
$\frac{4(1+3^x)}{2^x} = 1+3^x$
Поскольку $3^x > 0$, то $1+3^x > 1$, значит, мы можем разделить обе части уравнения на $(1+3^x)$:
$\frac{4}{2^x} = 1$
$4 = 2^x$
$2^2 = 2^x$
$x=2$

Ответ: $x=2$.