Номер 10.13, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.13, страница 270.

Условие.

10.13* a) $\sqrt[3]{3 - 2x} = \sqrt{2 - x}$;

б) $\sqrt[3]{5 - 2x} = \sqrt{3 - x}$;

в) $\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt{x - 3}$;

г) $\sqrt[3]{2x + 3} = \sqrt{x + 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{3-2x} = \sqrt{2-x}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
$2-x \ge 0$
$x \le 2$
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[3]{3-2x})^6 = (\sqrt{2-x})^6$
$(3-2x)^2 = (2-x)^3$
Раскроем скобки:
$9 - 12x + 4x^2 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^3 + 4x^2 - 6x^2 - 12x + 12x + 9 - 8 = 0$
$x^3 - 2x^2 + 1 = 0$
Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (1), то есть $\pm 1$.
При $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 2x^2 + 1$ на $(x-1)$:
$(x^3 - 2x^2 + 1) \div (x-1) = x^2 - x - 1$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x-1)(x^2 - x - 1) = 0$
Отсюда получаем два уравнения:
1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 - x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le 2$):
$x_1=1$: $1 \le 2$ (верно).
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$: $1.618 \le 2$ (верно).
$x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.236}{2} \approx -0.618$: $-0.618 \le 2$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $1; \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{5-2x} = \sqrt{3-x}$.
ОДЗ: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{5-2x})^6 = (\sqrt{3-x})^6$
$(5-2x)^2 = (3-x)^3$
Раскроем скобки:
$25 - 20x + 4x^2 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 + 4x^2 - 9x^2 - 20x + 27x + 25 - 27 = 0$
$x^3 - 5x^2 + 7x - 2 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
При $x=2$: $2^3 - 5(2)^2 + 7(2) - 2 = 8 - 20 + 14 - 2 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ на $(x-2)$:
$(x^3 - 5x^2 + 7x - 2) \div (x-2) = x^2 - 3x + 1$
Уравнение примет вид:
$(x-2)(x^2 - 3x + 1) = 0$
Отсюда:
1) $x-2 = 0 \implies x_1 = 2$
2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 3$):
$x_1=2$: $2 \le 3$ (верно).
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3+2.236}{2} \approx 2.618$: $2.618 \le 3$ (верно).
$x_3 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3-2.236}{2} \approx 0.382$: $0.382 \le 3$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $2; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x+1} = \sqrt{x-3}$.
ОДЗ: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{x+1})^6 = (\sqrt{x-3})^6$
$(x+1)^2 = (x-3)^3$
Раскроем скобки:
$x^2 + 2x + 1 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^3 - 9x^2 - x^2 + 27x - 2x - 27 - 1$
$x^3 - 10x^2 + 25x - 28 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-28), учитывая ОДЗ ($x \ge 3$).
При $x=7$: $7^3 - 10(7)^2 + 25(7) - 28 = 343 - 490 + 175 - 28 = 518 - 518 = 0$. Значит, $x=7$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 - 10x^2 + 25x - 28$ на $(x-7)$:
$(x^3 - 10x^2 + 25x - 28) \div (x-7) = x^2 - 3x + 4$
Уравнение примет вид:
$(x-7)(x^2 - 3x + 4) = 0$
Отсюда:
1) $x-7 = 0 \implies x_1 = 7$
2) $x^2 - 3x + 4 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Проверим единственный корень по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1=7$: $7 \ge 3$ (верно).
Ответ: $7$.

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{2x+3} = \sqrt{x+2}$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[3]{2x+3})^6 = (\sqrt{x+2})^6$
$(2x+3)^2 = (x+2)^3$
Раскроем скобки:
$4x^2 + 12x + 9 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^3 + 6x^2 - 4x^2 + 12x - 12x + 8 - 9$
$x^3 + 2x^2 - 1 = 0$
Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-1), то есть $\pm 1$.
При $x=-1$: $(-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем.
Разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - 1$ на $(x+1)$:
$(x^3 + 2x^2 - 1) \div (x+1) = x^2 + x - 1$
Уравнение примет вид:
$(x+1)(x^2 + x - 1) = 0$
Отсюда:
1) $x+1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 + x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
$x_1=-1$: $-1 \ge -2$ (верно).
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1+2.236}{2} \approx 0.618$: $0.618 \ge -2$ (верно).
$x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1-2.236}{2} \approx -1.618$: $-1.618 \ge -2$ (верно).
Все три корня подходят.
Ответ: $-1; \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.