Номер 10.11, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.11, страница 270.

Условие.

10.11 a) $\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{6};$

В) $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{5};$

Г) $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-4}\sqrt{x+4} = \sqrt{6} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$ x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 $

$ x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 $

Общей областью, удовлетворяющей обоим условиям, является $ x \ge 4 $.

Теперь приступим к решению уравнения. Используем свойство произведения корней $ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $:

$ \sqrt{(x-4)(x+4)} = \sqrt{6} $

В левой части под корнем находится произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \sqrt{x^2 - 4^2} = \sqrt{6} $

$ \sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{6} $

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:

$ (\sqrt{x^2 - 16})^2 = (\sqrt{6})^2 $

$ x^2 - 16 = 6 $

Решим полученное квадратное уравнение:

$ x^2 = 6 + 16 $

$ x^2 = 22 $

$ x = \pm\sqrt{22} $

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 4 $).
Корень $ x = -\sqrt{22} $ является отрицательным числом, следовательно, не удовлетворяет ОДЗ.
Сравним корень $ x = \sqrt{22} $ с числом 4. Так как $ (\sqrt{22})^2 = 22 $ и $ 4^2 = 16 $, а $ 22 > 16 $, то $ \sqrt{22} > 4 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \sqrt{22} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-3}\sqrt{x+3} = \sqrt{5} $.

ОДЗ: $ x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 $ и $ x+3 \ge 0 \implies x \ge -3 $. Общая область: $ x \ge 3 $.

Решаем уравнение, используя свойство произведения корней и формулу разности квадратов:

$ \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{5} $

$ \sqrt{x^2 - 3^2} = \sqrt{5} $

$ \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{5} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 9 = 5 $

$ x^2 = 5 + 9 $

$ x^2 = 14 $

$ x = \pm\sqrt{14} $

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 3 $).
Корень $ x = -\sqrt{14} $ не подходит.
Корень $ x = \sqrt{14} $: так как $ (\sqrt{14})^2 = 14 $, а $ 3^2 = 9 $, и $ 14 > 9 $, то $ \sqrt{14} > 3 $. Корень подходит.

Ответ: $ \sqrt{14} $.

в)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-5}\sqrt{x+5} = \sqrt{2} $.

ОДЗ: $ x-5 \ge 0 \implies x \ge 5 $ и $ x+5 \ge 0 \implies x \ge -5 $. Общая область: $ x \ge 5 $.

Решаем уравнение:

$ \sqrt{(x-5)(x+5)} = \sqrt{2} $

$ \sqrt{x^2 - 5^2} = \sqrt{2} $

$ \sqrt{x^2 - 25} = \sqrt{2} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 25 = 2 $

$ x^2 = 2 + 25 $

$ x^2 = 27 $

$ x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm3\sqrt{3} $.

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 5 $).
Корень $ x = -3\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 3\sqrt{3} $: так как $ (3\sqrt{3})^2 = 27 $, а $ 5^2 = 25 $, и $ 27 > 25 $, то $ 3\sqrt{3} > 5 $. Корень подходит.

Ответ: $ 3\sqrt{3} $.

г)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x-2}\sqrt{x+2} = \sqrt{8} $.

ОДЗ: $ x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 $ и $ x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 $. Общая область: $ x \ge 2 $.

Решаем уравнение:

$ \sqrt{(x-2)(x+2)} = \sqrt{8} $

$ \sqrt{x^2 - 2^2} = \sqrt{8} $

$ \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{8} $

Возводим обе части в квадрат:

$ x^2 - 4 = 8 $

$ x^2 = 8 + 4 $

$ x^2 = 12 $

$ x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm2\sqrt{3} $.

Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 2 $).
Корень $ x = -2\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 2\sqrt{3} $: так как $ (2\sqrt{3})^2 = 12 $, а $ 2^2 = 4 $, и $ 12 > 4 $, то $ 2\sqrt{3} > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $ 2\sqrt{3} $.