Номер 10.11, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.11, страница 270.
№10.11 (с. 270)
Условие. №10.11 (с. 270)
скриншот условия

10.11 a) $\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{6};$
В) $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-5}\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} = \sqrt{2};$
б) $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{5};$
Г) $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{8}.$
Решение 1. №10.11 (с. 270)




Решение 2. №10.11 (с. 270)


Решение 4. №10.11 (с. 270)
а)
Исходное уравнение: $ \sqrt{x-4}\sqrt{x+4} = \sqrt{6} $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$ x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 $
$ x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 $
Общей областью, удовлетворяющей обоим условиям, является $ x \ge 4 $.
Теперь приступим к решению уравнения. Используем свойство произведения корней $ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $:
$ \sqrt{(x-4)(x+4)} = \sqrt{6} $
В левой части под корнем находится произведение разности и суммы, которое равно разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ \sqrt{x^2 - 4^2} = \sqrt{6} $
$ \sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{6} $
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:
$ (\sqrt{x^2 - 16})^2 = (\sqrt{6})^2 $
$ x^2 - 16 = 6 $
Решим полученное квадратное уравнение:
$ x^2 = 6 + 16 $
$ x^2 = 22 $
$ x = \pm\sqrt{22} $
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge 4 $).
Корень $ x = -\sqrt{22} $ является отрицательным числом, следовательно, не удовлетворяет ОДЗ.
Сравним корень $ x = \sqrt{22} $ с числом 4. Так как $ (\sqrt{22})^2 = 22 $ и $ 4^2 = 16 $, а $ 22 > 16 $, то $ \sqrt{22} > 4 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ \sqrt{22} $.
б)
Исходное уравнение: $ \sqrt{x-3}\sqrt{x+3} = \sqrt{5} $.
ОДЗ: $ x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 $ и $ x+3 \ge 0 \implies x \ge -3 $. Общая область: $ x \ge 3 $.
Решаем уравнение, используя свойство произведения корней и формулу разности квадратов:
$ \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{5} $
$ \sqrt{x^2 - 3^2} = \sqrt{5} $
$ \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{5} $
Возводим обе части в квадрат:
$ x^2 - 9 = 5 $
$ x^2 = 5 + 9 $
$ x^2 = 14 $
$ x = \pm\sqrt{14} $
Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 3 $).
Корень $ x = -\sqrt{14} $ не подходит.
Корень $ x = \sqrt{14} $: так как $ (\sqrt{14})^2 = 14 $, а $ 3^2 = 9 $, и $ 14 > 9 $, то $ \sqrt{14} > 3 $. Корень подходит.
Ответ: $ \sqrt{14} $.
в)
Исходное уравнение: $ \sqrt{x-5}\sqrt{x+5} = \sqrt{2} $.
ОДЗ: $ x-5 \ge 0 \implies x \ge 5 $ и $ x+5 \ge 0 \implies x \ge -5 $. Общая область: $ x \ge 5 $.
Решаем уравнение:
$ \sqrt{(x-5)(x+5)} = \sqrt{2} $
$ \sqrt{x^2 - 5^2} = \sqrt{2} $
$ \sqrt{x^2 - 25} = \sqrt{2} $
Возводим обе части в квадрат:
$ x^2 - 25 = 2 $
$ x^2 = 2 + 25 $
$ x^2 = 27 $
$ x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm3\sqrt{3} $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 5 $).
Корень $ x = -3\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 3\sqrt{3} $: так как $ (3\sqrt{3})^2 = 27 $, а $ 5^2 = 25 $, и $ 27 > 25 $, то $ 3\sqrt{3} > 5 $. Корень подходит.
Ответ: $ 3\sqrt{3} $.
г)
Исходное уравнение: $ \sqrt{x-2}\sqrt{x+2} = \sqrt{8} $.
ОДЗ: $ x-2 \ge 0 \implies x \ge 2 $ и $ x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 $. Общая область: $ x \ge 2 $.
Решаем уравнение:
$ \sqrt{(x-2)(x+2)} = \sqrt{8} $
$ \sqrt{x^2 - 2^2} = \sqrt{8} $
$ \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{8} $
Возводим обе части в квадрат:
$ x^2 - 4 = 8 $
$ x^2 = 8 + 4 $
$ x^2 = 12 $
$ x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm2\sqrt{3} $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x \ge 2 $).
Корень $ x = -2\sqrt{3} $ не подходит.
Корень $ x = 2\sqrt{3} $: так как $ (2\sqrt{3})^2 = 12 $, а $ 2^2 = 4 $, и $ 12 > 4 $, то $ 2\sqrt{3} > 2 $. Корень подходит.
Ответ: $ 2\sqrt{3} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.11 расположенного на странице 270 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.11 (с. 270), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.