Номер 10.5, страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.5, страница 269.

Условие.

Решите уравнение (10.5—10.13):

10.5 а) $\sqrt[4]{x+1} = \sqrt[4]{2x-5};$

б) $\sqrt[4]{x-1} = \sqrt[4]{2x+5};$

в) $\sqrt{2x+11} = \sqrt{4x+1};$

г) $\sqrt{2x-9} = \sqrt{4x+3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано уравнение $\sqrt[4]{x + 1} = \sqrt[4]{2x - 5}$.

Поскольку корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} x + 1 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -1 \\ 2x \ge 5 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -1 \\ x \ge 2.5 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2.5$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt[4]{x + 1})^4 = (\sqrt[4]{2x - 5})^4$

$x + 1 = 2x - 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$1 + 5 = 2x - x$

$x = 6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \ge 2.5$, корень подходит.

Ответ: $6$.

б) Дано уравнение $\sqrt[4]{x - 1} = \sqrt[4]{2x + 5}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} x - 1 \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ 2x \ge -5 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ x \ge -2.5 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x - 1})^4 = (\sqrt[4]{2x + 5})^4$

$x - 1 = 2x + 5$

Решим полученное линейное уравнение:

$-1 - 5 = 2x - x$

$x = -6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-6 < 1$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $\sqrt{2x + 11} = \sqrt{4x + 1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} 2x + 11 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} 2x \ge -11 \\ 4x \ge -1 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge -5.5 \\ x \ge -0.25 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -0.25$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 11})^2 = (\sqrt{4x + 1})^2$

$2x + 11 = 4x + 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$11 - 1 = 4x - 2x$

$10 = 2x$

$x = 5$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $5 \ge -0.25$, корень подходит.

Ответ: $5$.

г) Дано уравнение $\sqrt{2x - 9} = \sqrt{4x + 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\{ \begin{array}{l} 2x - 9 \ge 0 \\ 4x + 3 \ge 0 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} 2x \ge 9 \\ 4x \ge -3 \end{array} \Rightarrow \{ \begin{array}{l} x \ge 4.5 \\ x \ge -0.75 \end{array}$

Следовательно, ОДЗ: $x \ge 4.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 9})^2 = (\sqrt{4x + 3})^2$

$2x - 9 = 4x + 3$

Решим полученное линейное уравнение:

$-9 - 3 = 4x - 2x$

$-12 = 2x$

$x = -6$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-6 < 4.5$, корень не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Ответ: корней нет.